Страница 141 номер 6.1.6, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Последовательность задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = n^2 - n\). Установить: 1) номер члена последовательности, равного 6; 20; 42; 182; 2) является ли членом последовательности число 4; 30; 110; 11.
Номер члена — натуральное число, поэтому из уравнения \(n^2 - n = A\) годится только натуральный корень.
1) \(n^2 - n = 6\), то есть \(n^2 - n - 6 = 0\); \(D = 1 + 24 = 25\), корни \(n_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3\) и \(n_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2\); номер натуральный, поэтому \(n = 3\).
\(n^2 - n - 20 = 0\); \(D = 1 + 80 = 81\), корни \(n_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5\) и \(n_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4\); годится \(n = 5\).
\(n^2 - n - 42 = 0\); \(D = 1 + 168 = 169\), корни \(n_1 = \frac{1 + 13}{2} = 7\) и \(n_2 = \frac{1 - 13}{2} = -6\); годится \(n = 7\).
\(n^2 - n - 182 = 0\); \(D = 1 + 728 = 729\), корни \(n_1 = \frac{1 + 27}{2} = 14\) и \(n_2 = \frac{1 - 27}{2} = -13\); годится \(n = 14\).
2) Для 4: \(n^2 - n - 4 = 0\), \(D = 1 + 16 = 17\); число 17 не является квадратом натурального числа, корни иррациональны, натурального номера нет — 4 членом последовательности не является.
Для 30: \(n^2 - n - 30 = 0\), \(D = 1 + 120 = 121\), корни \(n_1 = \frac{1 + 11}{2} = 6\) и \(n_2 = \frac{1 - 11}{2} = -5\); номер \(n = 6\) натуральный, значит, 30 — член последовательности, причём \(b_6 = 30\).
Для 110: \(n^2 - n - 110 = 0\), \(D = 1 + 440 = 441\), корни \(n_1 = \frac{1 + 21}{2} = 11\) и \(n_2 = \frac{1 - 21}{2} = -10\); номер \(n = 11\) натуральный, значит, 110 — член последовательности, причём \(b_{11} = 110\).
Для 11: \(n^2 - n - 11 = 0\), \(D = 1 + 44 = 45\); число 45 не является квадратом натурального числа, корни иррациональны — 11 членом последовательности не является.
Ответ: 1) число 6 стоит на третьем месте, 20 — на пятом, 42 — на седьмом, 182 — на четырнадцатом; 2) членами последовательности являются числа 30 и 110, а числа 4 и 11 членами последовательности не являются.
Последовательность задана формулой \(n\)-го члена \(b_n = n^2 - n\). Установить: 1) номер члена последовательности, равного 6; 20; 42; 182; 2) является ли членом последовательности число 4; 30; 110; 11.
Номер члена последовательности — натуральное число, поэтому из уравнения \(n^2 - n = A\) годится только натуральный корень.
1) Для 6: \(n^2 - n = 6\), то есть \(n^2 - n - 6 = 0\). Дискриминант \(D = 1 + 24 = 25\), корни \(n_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3\) и \(n_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2\). Номер натуральный, поэтому \(n = 3\).
Для 20: \(n^2 - n - 20 = 0\), \(D = 1 + 80 = 81\), корни \(n_1 = \frac{1 + 9}{2} = 5\) и \(n_2 = \frac{1 - 9}{2} = -4\); годится \(n = 5\).
Для 42: \(n^2 - n - 42 = 0\), \(D = 1 + 168 = 169\), корни \(n_1 = \frac{1 + 13}{2} = 7\) и \(n_2 = \frac{1 - 13}{2} = -6\); годится \(n = 7\).
Для 182: \(n^2 - n - 182 = 0\), \(D = 1 + 728 = 729\), корни \(n_1 = \frac{1 + 27}{2} = 14\) и \(n_2 = \frac{1 - 27}{2} = -13\); годится \(n = 14\).
2) Число является членом последовательности тогда, когда уравнение \(n^2 - n = A\) имеет натуральный корень.
Для 4: \(n^2 - n - 4 = 0\), \(D = 1 + 16 = 17\). Число 17 не является квадратом натурального числа, поэтому корни уравнения иррациональны, натурального номера нет и 4 членом последовательности не является.
Для 30: \(n^2 - n - 30 = 0\), \(D = 1 + 120 = 121\), корни \(n_1 = \frac{1 + 11}{2} = 6\) и \(n_2 = \frac{1 - 11}{2} = -5\). Номер \(n = 6\) натуральный, значит, 30 — член последовательности, причём \(b_6 = 30\).
Для 110: \(n^2 - n - 110 = 0\), \(D = 1 + 440 = 441\), корни \(n_1 = \frac{1 + 21}{2} = 11\) и \(n_2 = \frac{1 - 21}{2} = -10\). Номер \(n = 11\) натуральный, значит, 110 — член последовательности, причём \(b_{11} = 110\).
Для 11: \(n^2 - n - 11 = 0\), \(D = 1 + 44 = 45\). Число 45 не является квадратом натурального числа, поэтому корни иррациональны и 11 членом последовательности не является.
Ответ: 1) число 6 стоит на третьем месте, 20 — на пятом, 42 — на седьмом, 182 — на четырнадцатом; 2) членами последовательности являются числа 30 и 110, а числа 4 и 11 членами последовательности не являются.
