Страницы 141-142 номер 6.1.11, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) \(a_1 = 2^{16} = 65\,536\):
\(a_2 = \sqrt{a_1} = \sqrt{2^{16}} = 2^8 = 256\), так как \((2^8)^2 = 2^{16}\) и \(2^8 > 0\);
\(a_3 = \sqrt{a_2} = \sqrt{256} = 16\);
\(a_4 = \sqrt{a_3} = \sqrt{16} = 4\);
\(a_5 = \sqrt{a_4} = \sqrt{4} = 2\).
2) \(a_1 = \frac{1}{2}\):
\(a_2 = a_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\);
\(a_3 = a_2^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\);
\(a_4 = a_3^2 = \left(\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{1}{256}\);
\(a_5 = a_4^2 = \left(\frac{1}{256}\right)^2 = \frac{1}{65\,536}\).
3) \(a_1 = 2\), показателем степени служит сам предыдущий член:
\(a_2 = (-1)^{a_1} = (-1)^2 = 1\);
\(a_3 = (-1)^{a_2} = (-1)^1 = -1\);
\(a_4 = (-1)^{a_3} = (-1)^{-1} = \frac{1}{-1} = -1\);
\(a_5 = (-1)^{a_4} = (-1)^{-1} = -1\).
Начиная с третьего, все члены равны \(-1\).
4) Дан второй член, поэтому первый находим обратным ходом: при \(n = 2\) формула даёт \(a_2 = (-1)^2 a_1 = a_1\), значит, \(a_1 = -2\). Дальше считаем подряд:
\(a_3 = (-1)^3 a_2 = -1 \cdot (-2) = 2\);
\(a_4 = (-1)^4 a_3 = 1 \cdot 2 = 2\);
\(a_5 = (-1)^5 a_4 = -1 \cdot 2 = -2\).
Ответ: 1) \(65\,536\), 256, 16, 4, 2; 2) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{256}\), \(\frac{1}{65\,536}\); 3) 2, 1, \(-1\), \(-1\), \(-1\); 4) \(-2\), \(-2\), 2, 2, \(-2\).
1) \(a_1 = 2^{16} = 65\,536\), а каждый следующий член равен арифметическому квадратному корню из предыдущего:
\(a_2 = \sqrt{a_1} = \sqrt{2^{16}} = 2^8 = 256\), так как \((2^8)^2 = 2^{16}\) и \(2^8 > 0\);
\(a_3 = \sqrt{a_2} = \sqrt{256} = 16\);
\(a_4 = \sqrt{a_3} = \sqrt{16} = 4\);
\(a_5 = \sqrt{a_4} = \sqrt{4} = 2\).
2) \(a_1 = \frac{1}{2}\), а каждый следующий член равен квадрату предыдущего:
\(a_2 = a_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\);
\(a_3 = a_2^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\);
\(a_4 = a_3^2 = \left(\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{1}{256}\);
\(a_5 = a_4^2 = \left(\frac{1}{256}\right)^2 = \frac{1}{65\,536}\).
3) \(a_1 = 2\), а показателем степени служит сам предыдущий член:
\(a_2 = (-1)^{a_1} = (-1)^2 = 1\);
\(a_3 = (-1)^{a_2} = (-1)^1 = -1\);
\(a_4 = (-1)^{a_3} = (-1)^{-1} = \frac{1}{-1} = -1\);
\(a_5 = (-1)^{a_4} = (-1)^{-1} = -1\).
Начиная с третьего, все члены равны \(-1\).
4) Формула \(a_n = (-1)^n a_{n-1}\) выражает член через предыдущий, а дан второй член, поэтому первый находим обратным ходом. При \(n = 2\) формула даёт \(a_2 = (-1)^2 a_1 = a_1\), значит, \(a_1 = -2\). Дальше считаем подряд:
\(a_3 = (-1)^3 a_2 = -1 \cdot (-2) = 2\);
\(a_4 = (-1)^4 a_3 = 1 \cdot 2 = 2\);
\(a_5 = (-1)^5 a_4 = -1 \cdot 2 = -2\).
Ответ: 1) \(65\,536\), 256, 16, 4, 2; 2) \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{16}\), \(\frac{1}{256}\), \(\frac{1}{65\,536}\); 3) 2, 1, \(-1\), \(-1\), \(-1\); 4) \(-2\), \(-2\), 2, 2, \(-2\).
