Страница 141 номер 6.1.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Номер члена — натуральное число, находим его из уравнения \(\frac{1}{\sqrt{n}} = A\). Дроби вида \(\frac{\sqrt{a}}{a}\) сначала преобразуем: \(\frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\).
1) \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому из \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) получаем \(\sqrt{n} = \sqrt{3}\) и \(n = 3\).
\(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{16}\), \(\sqrt{n} = 16\), \(n = 256\).
\(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{25}\), \(\sqrt{n} = 25\), \(n = 625\).
\(\frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{\sqrt{7}}\), поэтому \(\sqrt{n} = \sqrt{7}\) и \(n = 7\).
2) Для \(\sqrt{5}\): \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{5}\), \(\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(n = \frac{1}{5}\) — не натуральное, поэтому \(\sqrt{5}\) членом последовательности не является.
Для \(\frac{1}{3}\): \(\sqrt{n} = 3\), \(n = 9\) — натуральное, значит, \(\frac{1}{3}\) — член последовательности, причём \(y_9 = \frac{1}{3}\).
Для \(\frac{1}{30}\): \(\sqrt{n} = 30\), \(n = 900\) — натуральное, значит, \(\frac{1}{30}\) — член последовательности, причём \(y_{900} = \frac{1}{30}\).
Для \(\frac{\sqrt{13}}{13}\): \(\frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}}\), поэтому \(\sqrt{n} = \sqrt{13}\) и \(n = 13\) — натуральное, значит, \(\frac{\sqrt{13}}{13}\) — член последовательности, причём \(y_{13} = \frac{\sqrt{13}}{13}\).
Ответ: 1) число \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) стоит на третьем месте, \(\frac{1}{16}\) — на двести пятьдесят шестом, \(\frac{1}{25}\) — на шестьсот двадцать пятом, \(\frac{\sqrt{7}}{7}\) — на седьмом; 2) членами последовательности являются числа \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{30}\) и \(\frac{\sqrt{13}}{13}\), а число \(\sqrt{5}\) членом последовательности не является.
Номер члена последовательности — натуральное число. Номер находим из уравнения \(\frac{1}{\sqrt{n}} = A\). Дроби вида \(\frac{\sqrt{a}}{a}\) удобно сначала преобразовать: \(\frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}\).
1) Для \(\frac{\sqrt{3}}{3}\): так как \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), из \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) получаем \(\sqrt{n} = \sqrt{3}\) и \(n = 3\).
Для \(\frac{1}{16}\): \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{16}\), \(\sqrt{n} = 16\), \(n = 256\).
Для \(\frac{1}{25}\): \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{25}\), \(\sqrt{n} = 25\), \(n = 625\).
Для \(\frac{\sqrt{7}}{7}\): так как \(\frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{1}{\sqrt{7}}\), получаем \(\sqrt{n} = \sqrt{7}\) и \(n = 7\).
2) Число является членом последовательности тогда, когда найденное из уравнения \(n\) оказывается натуральным.
Для \(\sqrt{5}\): \(\frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{5}\), \(\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(n = \frac{1}{5}\) — число не натуральное, поэтому \(\sqrt{5}\) членом последовательности не является.
Для \(\frac{1}{3}\): \(\sqrt{n} = 3\), \(n = 9\) — число натуральное, значит, \(\frac{1}{3}\) — член последовательности, причём \(y_9 = \frac{1}{3}\).
Для \(\frac{1}{30}\): \(\sqrt{n} = 30\), \(n = 900\) — число натуральное, значит, \(\frac{1}{30}\) — член последовательности, причём \(y_{900} = \frac{1}{30}\).
Для \(\frac{\sqrt{13}}{13}\): так как \(\frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}}\), получаем \(\sqrt{n} = \sqrt{13}\) и \(n = 13\) — число натуральное, значит, \(\frac{\sqrt{13}}{13}\) — член последовательности, причём \(y_{13} = \frac{\sqrt{13}}{13}\).
Ответ: 1) число \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) стоит на третьем месте, \(\frac{1}{16}\) — на двести пятьдесят шестом, \(\frac{1}{25}\) — на шестьсот двадцать пятом, \(\frac{\sqrt{7}}{7}\) — на седьмом; 2) членами последовательности являются числа \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{30}\) и \(\frac{\sqrt{13}}{13}\), а число \(\sqrt{5}\) членом последовательности не является.
