Страница 140 номер 6.1.1, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Знаменатель каждой дроби на единицу больше её номера, поэтому последовательность задана формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{1}{n+1}\).
1) \(a_6 = \frac{1}{6+1} = \frac{1}{7}\) — шестой член;
\(a_{10} = \frac{1}{10+1} = \frac{1}{11}\) — десятый член;
\(a_n = \frac{1}{n+1}\) — \(n\)-й член;
\(a_{n+3} = \frac{1}{(n+3)+1} = \frac{1}{n+4}\) — \((n+3)\)-й член.
2) Пусть дробь стоит на месте с номером \(k\); тогда она равна \(\frac{1}{k+1}\), а две дроби с числителем 1 равны только при равных знаменателях.
\(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{7}\), откуда \(k + 1 = 7\) и \(k = 6\).
\(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{15}\), откуда \(k + 1 = 15\) и \(k = 14\).
\(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+5}\), откуда \(k + 1 = n + 5\) и \(k = n + 4\).
\(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+19}\), откуда \(k + 1 = n + 19\) и \(k = n + 18\).
Все найденные номера — натуральные числа, поэтому каждая из четырёх дробей в последовательности встречается.
Ответ: 1) шестой член равен \(\frac{1}{7}\), десятый — \(\frac{1}{11}\), \(n\)-й — \(\frac{1}{n+1}\), \((n+3)\)-й — \(\frac{1}{n+4}\); 2) дробь \(\frac{1}{7}\) стоит на шестом месте, \(\frac{1}{15}\) — на четырнадцатом, \(\frac{1}{n+5}\) — на месте с номером \(n+4\), \(\frac{1}{n+19}\) — на месте с номером \(n+18\).
Знаменатель каждой дроби на единицу больше её номера: на первом месте стоит \(\frac{1}{2}\), на втором — \(\frac{1}{3}\), на третьем — \(\frac{1}{4}\). Значит, последовательность задана формулой \(n\)-го члена \(a_n = \frac{1}{n+1}\).
1) Подставляем в эту формулу нужный номер:
\(a_6 = \frac{1}{6+1} = \frac{1}{7}\) — шестой член;
\(a_{10} = \frac{1}{10+1} = \frac{1}{11}\) — десятый член;
\(a_n = \frac{1}{n+1}\) — \(n\)-й член;
\(a_{n+3} = \frac{1}{(n+3)+1} = \frac{1}{n+4}\) — \((n+3)\)-й член.
2) Пусть данная дробь стоит в последовательности на месте с номером \(k\). Тогда она равна \(\frac{1}{k+1}\), и номер находится из уравнения. Две дроби с числителем 1 равны только тогда, когда равны их знаменатели.
Для \(\frac{1}{7}\): \(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{7}\), откуда \(k + 1 = 7\) и \(k = 6\).
Для \(\frac{1}{15}\): \(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{15}\), откуда \(k + 1 = 15\) и \(k = 14\).
Для \(\frac{1}{n+5}\): \(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+5}\), откуда \(k + 1 = n + 5\) и \(k = n + 4\).
Для \(\frac{1}{n+19}\): \(\frac{1}{k+1} = \frac{1}{n+19}\), откуда \(k + 1 = n + 19\) и \(k = n + 18\).
Все найденные номера — натуральные числа, поэтому каждая из четырёх дробей действительно встречается в последовательности.
Ответ: 1) шестой член равен \(\frac{1}{7}\), десятый — \(\frac{1}{11}\), \(n\)-й — \(\frac{1}{n+1}\), \((n+3)\)-й — \(\frac{1}{n+4}\); 2) дробь \(\frac{1}{7}\) стоит на шестом месте, \(\frac{1}{15}\) — на четырнадцатом, \(\frac{1}{n+5}\) — на месте с номером \(n+4\), \(\frac{1}{n+19}\) — на месте с номером \(n+18\).
