Страница 139 номер 5.3.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Сначала раскроем модули в формуле \(y = \bigl|2 - |3 - x|\bigr|\).

При \(x \leqslant 3\) имеем \(|3 - x| = 3 - x\), поэтому \(2 - |3 - x| = 2 - (3 - x) = x - 1\) и \(y = |x - 1|\). Значит, при \(x \leqslant 1\) получаем \(y = 1 - x\), а при \(1 \leqslant x \leqslant 3\) получаем \(y = x - 1\).

При \(x \geqslant 3\) имеем \(|3 - x| = x - 3\), поэтому \(2 - |3 - x| = 2 - (x - 3) = 5 - x\) и \(y = |5 - x|\). Значит, при \(3 \leqslant x \leqslant 5\) получаем \(y = 5 - x\), а при \(x \geqslant 5\) получаем \(y = x - 5\).

График — ломаная из четырёх звеньев с угловыми точками \((1;\ 0)\), \((3;\ 2)\) и \((5;\ 0)\); крайние звенья — лучи, уходящие вверх. График функции \(y = kx + 3\) — прямая, проходящая при любом \(k\) через точку \((0;\ 3)\): при \(x = 0\) получается \(y = 3\). Меняя \(k\), эту прямую поворачивают вокруг точки \((0;\ 3)\).

Найдём, сколько общих точек даёт каждое звено ломаной.

Звено \(y = 1 - x\) при \(x \leqslant 1\): из уравнения \(kx + 3 = 1 - x\) получаем \((k + 1)x = -2\). При \(k = -1\) решений нет: прямая параллельна этому звену. При \(k \ne -1\) имеем \(x = -\frac{2}{k + 1}\). Если \(k > -1\), то \(k + 1 > 0\) и \(x < 0\), то есть условие \(x \leqslant 1\) выполнено. Если \(k < -1\), то \(x > 0\), и неравенство \(-\frac{2}{k + 1} \leqslant 1\) после умножения обеих частей на отрицательное число \(k + 1\) (знак неравенства при этом меняется) даёт \(-2 \geqslant k + 1\), то есть \(k \leqslant -3\). Значит, это звено даёт общую точку при \(k \leqslant -3\) и при \(k > -1\).

Звено \(y = x - 1\) при \(1 \leqslant x \leqslant 3\): из уравнения \(kx + 3 = x - 1\) получаем \((k - 1)x = -4\). При \(k = 1\) решений нет. При \(k \ne 1\) имеем \(x = \frac{4}{1 - k}\). При \(k > 1\) выходит \(x < 0\) — такое значение промежутку не принадлежит. При \(k < 1\) число \(1 - k\) положительно, поэтому неравенство \(\frac{4}{1 - k} \geqslant 1\) равносильно \(4 \geqslant 1 - k\), то есть \(k \geqslant -3\), а неравенство \(\frac{4}{1 - k} \leqslant 3\) равносильно \(4 \leqslant 3 - 3k\), то есть \(k \leqslant -\frac{1}{3}\). Значит, это звено даёт общую точку при \(-3 \leqslant k \leqslant -\frac{1}{3}\).

Звено \(y = 5 - x\) при \(3 \leqslant x \leqslant 5\): из уравнения \(kx + 3 = 5 - x\) получаем \((k + 1)x = 2\). При \(k = -1\) решений нет. При \(k \ne -1\) имеем \(x = \frac{2}{k + 1}\). При \(k < -1\) выходит \(x < 0\) — не подходит. При \(k > -1\) число \(k + 1\) положительно, поэтому \(\frac{2}{k + 1} \geqslant 3\) равносильно \(2 \geqslant 3k + 3\), то есть \(k \leqslant -\frac{1}{3}\), а \(\frac{2}{k + 1} \leqslant 5\) равносильно \(2 \leqslant 5k + 5\), то есть \(k \geqslant -\frac{3}{5}\). Значит, это звено даёт общую точку при \(-\frac{3}{5} \leqslant k \leqslant -\frac{1}{3}\).

Звено \(y = x - 5\) при \(x \geqslant 5\): из уравнения \(kx + 3 = x - 5\) получаем \((k - 1)x = -8\). При \(k = 1\) решений нет. При \(k \ne 1\) имеем \(x = \frac{8}{1 - k}\). При \(k > 1\) выходит \(x < 0\) — не подходит. При \(k < 1\) неравенство \(\frac{8}{1 - k} \geqslant 5\) равносильно \(8 \geqslant 5 - 5k\), то есть \(k \geqslant -\frac{3}{5}\). Значит, это звено даёт общую точку при \(-\frac{3}{5} \leqslant k < 1\).

Осталось учесть, что при \(k = -3\), \(k = -\frac{3}{5}\) и \(k = -\frac{1}{3}\) прямая проходит через угловую точку ломаной (\((1;\ 0)\), \((5;\ 0)\) и \((3;\ 2)\) соответственно), и два соседних звена дают одну и ту же точку, а не две. Подсчёт по всем промежуткам: \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{значения } k & \text{число общих точек} \\ \hline k \leqslant -1 & 1 \\ \hline -1 < k < -\frac{3}{5} & 2 \\ \hline k = -\frac{3}{5} & 3 \\ \hline -\frac{3}{5} < k < -\frac{1}{3} & 4 \\ \hline k = -\frac{1}{3} & 3 \\ \hline -\frac{1}{3} < k < 1 & 2 \\ \hline k \geqslant 1 & 1 \\ \hline \end{array}\]

Нечётное число общих точек получается в первой, третьей, пятой и последней строках таблицы.

Ответ: \(k \leqslant -1\); \(k = -\frac{3}{5}\); \(k = -\frac{1}{3}\); \(k \geqslant 1\).