Страница 132 номер 5.3.9, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
На рисунке 29 изображены графики различных функций. Для каждого из них установить, заданная графиком функция является чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечётной — относительно начала координат; если нет ни той, ни другой симметрии, функция не является ни чётной, ни нечётной.
1) Парабола с вершиной \((0;\ 4)\) на оси ординат пересекает ось абсцисс в точках \(-2\) и 2, и правая половина линии получается из левой зеркальным отражением относительно оси ординат, то есть противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции. Функция чётная.
2) Кривая проходит через начало координат, точкам с абсциссами \(-5\) и 5 отвечают ординаты \(-2\) и 2, точкам с абсциссами \(-1\) и 1 — тоже противоположные ординаты, и вся линия совмещается сама с собой при повороте вокруг начала координат на \(180^\circ\). Функция нечётная.
3) Максимум \((-2;\ 2)\) и минимум \((2;\ -2)\) расположены симметрично относительно начала координат, через начало координат линия проходит, а ось абсцисс пересекает в точках \(-4\), 0 и 4: противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции. Функция нечётная.
4) Слева от оси ординат линия — плавная кривая, справа — прямолинейный луч, то есть половины линии имеют разную форму. Значению \(x = -2\) отвечает \(y = 0\), а значению \(x = 2\) — положительное значение, отличное от нуля: равенства \(f(-2) = f(2)\) нет, равенства \(f(2) = -f(-2)\) тоже нет. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
5) Угловая точка \((0;\ 2)\) лежит на оси ординат, максимумы \((-1;\ 3)\) и \((1;\ 3)\) и нули \(-3\) и 3 расположены симметрично относительно оси ординат, и вся линия симметрична относительно этой оси. Функция чётная.
6) Левая ветвь гиперболы лежит во второй координатной четверти, правая — в четвёртой, и при повороте вокруг начала координат на \(180^\circ\) каждая ветвь переходит в другую. Значениям аргумента \(-1\) и 1 отвечают значения функции 1 и \(-1\): противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции. Функция нечётная.
Ответ: чётные функции — 1) и 5); нечётные функции — 2), 3) и 6); ни чётной, ни нечётной не является функция 4).
На рисунке 29 изображены графики различных функций. Для каждого из них установить, заданная графиком функция является чётной, нечётной или не является ни чётной, ни нечётной.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если у графика нет ни той, ни другой симметрии, функция не является ни чётной, ни нечётной. Разберём шесть графиков по очереди.
1) Парабола с вершиной \((0;\ 4)\) на оси ординат пересекает ось абсцисс в точках \(-2\) и 2. Правая половина линии получается из левой зеркальным отражением относительно оси ординат, то есть противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции. Функция чётная.
2) Кривая проходит через начало координат, и точкам с абсциссами \(-5\) и 5 отвечают ординаты \(-2\) и 2, точкам с абсциссами \(-1\) и 1 — тоже противоположные ординаты. Вся линия совмещается сама с собой при повороте вокруг начала координат на \(180^\circ\), то есть симметрична относительно начала координат. Функция нечётная.
3) Максимум \((-2;\ 2)\) и минимум \((2;\ -2)\) расположены симметрично относительно начала координат, через начало координат линия проходит, а ось абсцисс пересекает в точках \(-4\), 0 и 4. Противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции. Функция нечётная.
4) Слева от оси ординат линия — плавная кривая, справа — прямолинейный луч, то есть половины линии имеют разную форму, и ни симметрии относительно оси ординат, ни симметрии относительно начала координат нет. Например, значению \(x = -2\) отвечает \(y = 0\), а значению \(x = 2\) — положительное значение, отличное от нуля: равенства \(f(-2) = f(2)\) нет, равенства \(f(2) = -f(-2)\) тоже нет. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
5) Угловая точка \((0;\ 2)\) лежит на оси ординат, максимумы \((-1;\ 3)\) и \((1;\ 3)\) и нули \(-3\) и 3 расположены симметрично относительно оси ординат, и вся линия симметрична относительно этой оси. Функция чётная.
6) Гипербола: левая ветвь лежит во второй координатной четверти, правая — в четвёртой, и при повороте вокруг начала координат на \(180^\circ\) каждая ветвь переходит в другую, то есть вся линия симметрична относительно начала координат. Так, значениям аргумента \(-1\) и 1 отвечают значения функции 1 и \(-1\): противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции. Функция нечётная.
Ответ: чётные функции — 1) и 5); нечётные функции — 2), 3) и 6); ни чётной, ни нечётной не является функция 4).
