Страница 131 номер 5.3.7, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
На рисунке 28 изображён график функции \(y = f(x)\). Перечислить свойства этой функции.
Сторона клетки равна единице, поэтому все числа читаются по сетке.
Первый график.
1. Крайние точки линии — \((-8;\ -1)\) и \((7;\ 0)\). Область определения: \(-8 \leqslant x \leqslant 7\).
2. Самая низкая точка линии имеет ординату \(-1\) (это её левый конец \((-8;\ -1)\) и точка минимума \((-2;\ -1)\)), самая высокая — ординату 5 (точка максимума \((2;\ 5)\)), и любое число между ними является значением функции. Множество значений: \(-1 \leqslant y \leqslant 5\).
3. С осью \(x\) график имеет четыре общие точки. Нули функции: \(x_1 = -7\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -1\), \(x_4 = 7\).
4. Выше оси \(x\) линия лежит между нулями \(-7\) и \(-4\) и между нулями \(-1\) и 7, ниже оси \(x\) — левее нуля \(-7\) и между нулями \(-4\) и \(-1\). Значит, \(y > 0\) при \(-7 < x < -4\) и при \(-1 < x < 7\); \(y < 0\) при \(-8 \leqslant x < -7\) и при \(-4 < x < -1\).
5. Линия поднимается от точки \((-8;\ -1)\) до максимума \((-5;\ 2)\) и от минимума \((-2;\ -1)\) до максимума \((2;\ 5)\), а опускается от максимума \((-5;\ 2)\) до минимума \((-2;\ -1)\) и от максимума \((2;\ 5)\) до точки \((7;\ 0)\). Функция возрастает на промежутках \(-8 \leqslant x \leqslant -5\) и \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), убывает на промежутках \(-5 \leqslant x \leqslant -2\) и \(2 \leqslant x \leqslant 7\).
6. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при \(x = 2\); наименьшее равно \(-1\) и достигается при \(x = -8\) и при \(x = -2\).
7. Область определения \(-8 \leqslant x \leqslant 7\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Второй график.
1. Крайние точки линии — \((-7;\ 0)\) и \((8;\ -4)\). Область определения: \(-7 \leqslant x \leqslant 8\).
2. Самая низкая точка линии имеет ординату \(-4\) (правый конец \((8;\ -4)\)), самая высокая — ординату 5 (точка максимума \((0;\ 5)\)). Множество значений: \(-4 \leqslant y \leqslant 5\).
3. С осью \(x\) график имеет три общие точки. Нули функции: \(x_1 = -7\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 6\).
4. Выше оси \(x\) линия лежит между нулями \(-1\) и 6, ниже оси \(x\) — между нулями \(-7\) и \(-1\) и правее нуля 6. Значит, \(y > 0\) при \(-1 < x < 6\); \(y < 0\) при \(-7 < x < -1\) и при \(6 < x \leqslant 8\).
5. Линия опускается от точки \((-7;\ 0)\) до минимума \((-4;\ -3)\), поднимается от него до максимума \((0;\ 5)\) и дальше опускается до точки \((8;\ -4)\). Функция возрастает на промежутке \(-4 \leqslant x \leqslant 0\), убывает на промежутках \(-7 \leqslant x \leqslant -4\) и \(0 \leqslant x \leqslant 8\).
6. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при \(x = 0\); наименьшее равно \(-4\) и достигается при \(x = 8\).
7. Область определения \(-7 \leqslant x \leqslant 8\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: первый график: область определения \(-8 \leqslant x \leqslant 7\); множество значений \(-1 \leqslant y \leqslant 5\); нули \(x_1 = -7\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -1\), \(x_4 = 7\); \(y > 0\) при \(-7 < x < -4\) и \(-1 < x < 7\), \(y < 0\) при \(-8 \leqslant x < -7\) и \(-4 < x < -1\); возрастает при \(-8 \leqslant x \leqslant -5\) и \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), убывает при \(-5 \leqslant x \leqslant -2\) и \(2 \leqslant x \leqslant 7\); наибольшее значение 5 при \(x = 2\), наименьшее \(-1\) при \(x = -8\) и \(x = -2\); функция не является ни чётной, ни нечётной. Второй график: область определения \(-7 \leqslant x \leqslant 8\); множество значений \(-4 \leqslant y \leqslant 5\); нули \(x_1 = -7\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 6\); \(y > 0\) при \(-1 < x < 6\), \(y < 0\) при \(-7 < x < -1\) и \(6 < x \leqslant 8\); возрастает при \(-4 \leqslant x \leqslant 0\), убывает при \(-7 \leqslant x \leqslant -4\) и \(0 \leqslant x \leqslant 8\); наибольшее значение 5 при \(x = 0\), наименьшее \(-4\) при \(x = 8\); функция не является ни чётной, ни нечётной.
На рисунке 28 изображён график функции \(y = f(x)\). Перечислить свойства этой функции.
Свойства функции перечисляем в том же порядке, в каком их обычно выписывают: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, чётность или нечётность. Сторона клетки равна единице, поэтому все числа читаются по сетке.
Первый график.
1. Крайние точки линии — \((-8;\ -1)\) и \((7;\ 0)\), её проекция на ось \(x\) — отрезок от \(-8\) до 7. Область определения: \(-8 \leqslant x \leqslant 7\).
2. Самая низкая точка линии имеет ординату \(-1\) (это её левый конец \((-8;\ -1)\) и точка минимума \((-2;\ -1)\)), самая высокая — ординату 5 (точка максимума \((2;\ 5)\)), и любое число между ними является значением функции. Множество значений: \(-1 \leqslant y \leqslant 5\).
3. С осью \(x\) график имеет четыре общие точки. Нули функции: \(x_1 = -7\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -1\), \(x_4 = 7\).
4. Выше оси \(x\) линия лежит между нулями \(-7\) и \(-4\) и между нулями \(-1\) и 7, ниже оси \(x\) — левее нуля \(-7\) и между нулями \(-4\) и \(-1\). Значит, \(y > 0\) при \(-7 < x < -4\) и при \(-1 < x < 7\); \(y < 0\) при \(-8 \leqslant x < -7\) и при \(-4 < x < -1\).
5. Слева направо линия поднимается от точки \((-8;\ -1)\) до максимума \((-5;\ 2)\) и от минимума \((-2;\ -1)\) до максимума \((2;\ 5)\), а опускается от максимума \((-5;\ 2)\) до минимума \((-2;\ -1)\) и от максимума \((2;\ 5)\) до точки \((7;\ 0)\). Функция возрастает на промежутках \(-8 \leqslant x \leqslant -5\) и \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), убывает на промежутках \(-5 \leqslant x \leqslant -2\) и \(2 \leqslant x \leqslant 7\).
6. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при \(x = 2\); наименьшее равно \(-1\) и достигается при \(x = -8\) и при \(x = -2\).
7. Область определения \(-8 \leqslant x \leqslant 7\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Второй график.
1. Крайние точки линии — \((-7;\ 0)\) и \((8;\ -4)\). Область определения: \(-7 \leqslant x \leqslant 8\).
2. Самая низкая точка линии имеет ординату \(-4\) (правый конец \((8;\ -4)\)), самая высокая — ординату 5 (точка максимума \((0;\ 5)\)). Множество значений: \(-4 \leqslant y \leqslant 5\).
3. С осью \(x\) график имеет три общие точки. Нули функции: \(x_1 = -7\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 6\).
4. Выше оси \(x\) линия лежит между нулями \(-1\) и 6, ниже оси \(x\) — между нулями \(-7\) и \(-1\) и правее нуля 6. Значит, \(y > 0\) при \(-1 < x < 6\); \(y < 0\) при \(-7 < x < -1\) и при \(6 < x \leqslant 8\).
5. Слева направо линия опускается от точки \((-7;\ 0)\) до минимума \((-4;\ -3)\), поднимается от него до максимума \((0;\ 5)\) и дальше опускается до точки \((8;\ -4)\). Функция возрастает на промежутке \(-4 \leqslant x \leqslant 0\), убывает на промежутках \(-7 \leqslant x \leqslant -4\) и \(0 \leqslant x \leqslant 8\).
6. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при \(x = 0\); наименьшее равно \(-4\) и достигается при \(x = 8\).
7. Область определения \(-7 \leqslant x \leqslant 8\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: первый график: область определения \(-8 \leqslant x \leqslant 7\); множество значений \(-1 \leqslant y \leqslant 5\); нули \(x_1 = -7\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -1\), \(x_4 = 7\); \(y > 0\) при \(-7 < x < -4\) и \(-1 < x < 7\), \(y < 0\) при \(-8 \leqslant x < -7\) и \(-4 < x < -1\); возрастает при \(-8 \leqslant x \leqslant -5\) и \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), убывает при \(-5 \leqslant x \leqslant -2\) и \(2 \leqslant x \leqslant 7\); наибольшее значение 5 при \(x = 2\), наименьшее \(-1\) при \(x = -8\) и \(x = -2\); функция не является ни чётной, ни нечётной. Второй график: область определения \(-7 \leqslant x \leqslant 8\); множество значений \(-4 \leqslant y \leqslant 5\); нули \(x_1 = -7\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 6\); \(y > 0\) при \(-1 < x < 6\), \(y < 0\) при \(-7 < x < -1\) и \(6 < x \leqslant 8\); возрастает при \(-4 \leqslant x \leqslant 0\), убывает при \(-7 \leqslant x \leqslant -4\) и \(0 \leqslant x \leqslant 8\); наибольшее значение 5 при \(x = 0\), наименьшее \(-4\) при \(x = 8\); функция не является ни чётной, ни нечётной.
