Страница 130 номер 5.3.6, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
За концы отрезка график не продолжается, а сами концы отмечаются закрашенными точками.
1) \(y = 1 - 5x\) — линейная функция, её график прямая, поэтому берём концы отрезка: \(y(-2) = 1 - 5 \cdot (-2) = 11\), \(y(1) = 1 - 5 \cdot 1 = -4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & 11 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит отрезок с концами \((-2;\ 11)\) и \((1;\ -4)\).
2) \(y = \dfrac{x}{3} + 1\) — тоже линейная функция: \(y(-3) = \dfrac{-3}{3} + 1 = 0\), \(y(1) = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -3 & 1 \\ \hline y & 0 & 1\frac{1}{3} \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит отрезок с концами \((-3;\ 0)\) и \(\left(1;\ 1\frac{1}{3}\right)\).
3) \(y = -x^2\) на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 1\): \(y(-2) = -(-2)^2 = -4\), \(y(-1) = -1\), \(y(0) = 0\), \(y(1) = -1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 \\ \hline \end{array}\]
Получается часть параболы с вершиной \((0;\ 0)\) и ветвями вниз, с концами \((-2;\ -4)\) и \((1;\ -1)\).
4) \(y = 3x^2\) на отрезке \(0 \leqslant x \leqslant 2\): \(y(0) = 0\), \(y(0{,}5) = 3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75\), \(y(1) = 3\), \(y(1{,}5) = 3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75\), \(y(2) = 3 \cdot 4 = 12\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}75 & 3 & 6{,}75 & 12 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит правая половина параболы с вершиной \((0;\ 0)\) и ветвями вверх — от вершины до точки \((2;\ 12)\).
5) \(y = \dfrac{2}{x}\). При \(x = 0\) дробь смысла не имеет, поэтому нуль в область определения не входит и график состоит из двух отдельных ветвей: одна отвечает значениям \(-8 \leqslant x < 0\), другая — значениям \(0 < x \leqslant 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & -4 & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline y & -0{,}25 & -0{,}5 & -1 & -2 & -4 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Каждая ветвь — часть гиперболы: левая лежит в третьей четверти, правая — в первой, и обе неограниченно приближаются к оси \(y\), не пересекая её. Концы графика — точки \((-8;\ -0{,}25)\) и \((8;\ 0{,}25)\).
6) \(y = -\dfrac{1}{x^2}\). При \(x = 0\) дробь смысла не имеет, поэтому график снова состоит из двух ветвей: одна отвечает значениям \(-2 \leqslant x < 0\), другая — значениям \(0 < x \leqslant 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}25 & -1 & -4 & -4 & -1 & -0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции, поэтому ветви симметричны относительно оси \(y\); обе они лежат ниже оси \(x\) и неограниченно приближаются к оси \(y\). Концы графика — точки \((-2;\ -0{,}25)\) и \((2;\ -0{,}25)\).
7) \(y = x^4\) на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 2\): \(y(\pm 2) = 16\), \(y(\pm 1) = 1\), \(y(\pm 0{,}5) = 0{,}0625\), \(y(0) = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & 16 & 1 & 0{,}0625 & 0 & 0{,}0625 & 1 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции, поэтому график симметричен относительно оси \(y\); вблизи нуля он почти сливается с осью \(x\). Концы графика — точки \((-2;\ 16)\) и \((2;\ 16)\).
8) \(y = 2x^3\) на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 2\): \(y(-2) = 2 \cdot (-8) = -16\), \(y(-1) = -2\), \(y(-0{,}5) = 2 \cdot (-0{,}125) = -0{,}25\), \(y(0) = 0\), \(y(0{,}5) = 0{,}25\), \(y(1) = 2\), \(y(2) = 16\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -16 & -2 & -0{,}25 & 0 & 0{,}25 & 2 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции, поэтому график симметричен относительно начала координат. Концы графика — точки \((-2;\ -16)\) и \((2;\ 16)\).
9) \(y = \sqrt[3]{x}\). Так как \(3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}\) и \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}\), то на концах отрезка \(y = \pm 1{,}5\); а \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\), поэтому \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 0{,}5\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3\frac{3}{8} & -1 & -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} & 1 & 3\frac{3}{8} \\ \hline y & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Функция возрастающая, её график симметричен относительно начала координат и вблизи нуля идёт круто вверх. Концы графика — точки \(\left(-3\frac{3}{8};\ -1{,}5\right)\) и \(\left(3\frac{3}{8};\ 1{,}5\right)\).
10) \(y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\). Удобно брать значения \(x\), являющиеся квадратами целых чисел: \(y(0) = 0\), \(y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\), \(y(4) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\), \(y(9) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\), \(y(16) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит возрастающая кривая, выходящая из начала координат и поднимающаяся всё более полого, — часть ветви параболы. Концы графика — точки \((0;\ 0)\) и \((16;\ 2)\).
11) \(y = |x|\). При \(x \geqslant 0\) модуль равен самому числу, то есть \(y = x\), а при \(x < 0\) — противоположному числу, то есть \(y = -x\), поэтому график состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -5 & 0 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
Оба отрезка идут вверх под одинаковым наклоном, поэтому график симметричен относительно оси \(y\). Концы графика — точки \((-5;\ 5)\) и \((5;\ 5)\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
12) \(y = -|x|\). Значения этой функции противоположны значениям функции \(y = |x|\): при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -x\), при \(x < 0\) получаем \(y = x\); график снова состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат, но идущих вниз.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & 0 & 6 \\ \hline y & -6 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}\]
График симметричен относительно оси \(y\) и целиком лежит не выше оси \(x\). Концы графика — точки \((-6;\ -6)\) и \((6;\ -6)\), наибольшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
График функции, определённой на отрезке, — это только та часть линии, которая отвечает значениям аргумента из этого отрезка: за концы отрезка график не продолжается, а сами концы отмечаются закрашенными точками.
1) \(y = 1 - 5x\) — линейная функция, а график линейной функции — прямая, поэтому достаточно двух точек, и берём концы отрезка: \(y(-2) = 1 - 5 \cdot (-2) = 11\), \(y(1) = 1 - 5 \cdot 1 = -4\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & 11 & -4 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит отрезок с концами \((-2;\ 11)\) и \((1;\ -4)\).
2) \(y = \dfrac{x}{3} + 1\) — тоже линейная функция: \(y(-3) = \dfrac{-3}{3} + 1 = 0\), \(y(1) = \dfrac{1}{3} + 1 = 1\dfrac{1}{3}\).
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -3 & 1 \\ \hline y & 0 & 1\frac{1}{3} \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит отрезок с концами \((-3;\ 0)\) и \(\left(1;\ 1\frac{1}{3}\right)\).
3) \(y = -x^2\). Составим таблицу значений на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 1\): \(y(-2) = -(-2)^2 = -4\), \(y(-1) = -1\), \(y(0) = 0\), \(y(1) = -1\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & -1 \\ \hline \end{array}\]
Отмеченные точки соединяем плавной линией: получается часть параболы с вершиной \((0;\ 0)\), ветви которой направлены вниз, с концами \((-2;\ -4)\) и \((1;\ -1)\).
4) \(y = 3x^2\). На отрезке \(0 \leqslant x \leqslant 2\) находим: \(y(0) = 0\), \(y(0{,}5) = 3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75\), \(y(1) = 3\), \(y(1{,}5) = 3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75\), \(y(2) = 3 \cdot 4 = 12\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}75 & 3 & 6{,}75 & 12 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит правая половина параболы с вершиной \((0;\ 0)\) и ветвями вверх — от вершины до точки \((2;\ 12)\).
5) \(y = \dfrac{2}{x}\). При \(x = 0\) дробь смысла не имеет, поэтому нуль в область определения не входит и график состоит из двух отдельных ветвей: одна отвечает значениям \(-8 \leqslant x < 0\), другая — значениям \(0 < x \leqslant 8\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & -4 & -2 & -1 & -0{,}5 \\ \hline y & -0{,}25 & -0{,}5 & -1 & -2 & -4 \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0{,}5 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & 4 & 2 & 1 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Каждая ветвь — часть гиперболы: левая лежит в третьей координатной четверти, правая — в первой, и обе неограниченно приближаются к оси \(y\), не пересекая её. Концы графика — точки \((-8;\ -0{,}25)\) и \((8;\ 0{,}25)\).
6) \(y = -\dfrac{1}{x^2}\). При \(x = 0\) дробь смысла не имеет, поэтому нуль в область определения не входит и график снова состоит из двух ветвей: одна отвечает значениям \(-2 \leqslant x < 0\), другая — значениям \(0 < x \leqslant 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}25 & -1 & -4 & -4 & -1 & -0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции, поэтому ветви симметричны относительно оси \(y\); обе они лежат ниже оси \(x\) и неограниченно приближаются к оси \(y\). Концы графика — точки \((-2;\ -0{,}25)\) и \((2;\ -0{,}25)\).
7) \(y = x^4\). Находим значения на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 2\): \(y(\pm 2) = 16\), \(y(\pm 1) = 1\), \(y(\pm 0{,}5) = 0{,}0625\), \(y(0) = 0\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & 16 & 1 & 0{,}0625 & 0 & 0{,}0625 & 1 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции, поэтому график симметричен относительно оси \(y\); вблизи нуля он почти сливается с осью \(x\). Концы графика — точки \((-2;\ 16)\) и \((2;\ 16)\).
8) \(y = 2x^3\). Находим значения на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 2\): \(y(-2) = 2 \cdot (-8) = -16\), \(y(-1) = -2\), \(y(-0{,}5) = 2 \cdot (-0{,}125) = -0{,}25\), \(y(0) = 0\), \(y(0{,}5) = 0{,}25\), \(y(1) = 2\), \(y(2) = 16\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -16 & -2 & -0{,}25 & 0 & 0{,}25 & 2 & 16 \\ \hline \end{array}\]
Противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции, поэтому график симметричен относительно начала координат. Концы графика — точки \((-2;\ -16)\) и \((2;\ 16)\).
9) \(y = \sqrt[3]{x}\). Кубический корень \(\sqrt[3]{a}\) — это число, куб которого равен \(a\). Так как \(3\frac{3}{8} = \frac{27}{8}\) и \(\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}\), то на концах отрезка \(y = \pm 1{,}5\); кроме того, \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\), поэтому \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = 0{,}5\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3\frac{3}{8} & -1 & -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{8} & 1 & 3\frac{3}{8} \\ \hline y & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Функция возрастающая, её график симметричен относительно начала координат и вблизи нуля идёт круто вверх. Концы графика — точки \(\left(-3\frac{3}{8};\ -1{,}5\right)\) и \(\left(3\frac{3}{8};\ 1{,}5\right)\).
10) \(y = \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\). Удобно брать значения \(x\), являющиеся квадратами целых чисел: \(y(0) = 0\), \(y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\), \(y(4) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\), \(y(9) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1{,}5\), \(y(16) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 4 & 9 & 16 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Графиком служит возрастающая кривая, выходящая из начала координат и поднимающаяся всё более полого, — часть ветви параболы. Концы графика — точки \((0;\ 0)\) и \((16;\ 2)\).
11) \(y = |x|\). При \(x \geqslant 0\) модуль равен самому числу, то есть \(y = x\), а при \(x < 0\) он равен противоположному числу, то есть \(y = -x\). Значит, график состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -5 & 0 & 5 \\ \hline y & 5 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
Оба отрезка идут вверх под одинаковым наклоном, поэтому график симметричен относительно оси \(y\). Концы графика — точки \((-5;\ 5)\) и \((5;\ 5)\), наименьшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
12) \(y = -|x|\). Значения этой функции противоположны значениям функции \(y = |x|\): при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -x\), при \(x < 0\) получаем \(y = x\). График снова состоит из двух отрезков, выходящих из начала координат, но идущих вниз.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -6 & 0 & 6 \\ \hline y & -6 & 0 & -6 \\ \hline \end{array}\]
График симметричен относительно оси \(y\) и целиком лежит не выше оси \(x\). Концы графика — точки \((-6;\ -6)\) и \((6;\ -6)\), наибольшее значение 0 достигается при \(x = 0\).
