Страница 130 номер 5.3.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
\(y = x\). Определена при любом \(x\), значением может быть любое число. Так как \(f(-x) = -x = -f(x)\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Большему значению аргумента отвечает большее значение функции, поэтому функция возрастающая. График — прямая.
\(y = x^2\). Определена при любом \(x\), а квадрат неотрицателен, причём любое неотрицательное число является квадратом некоторого числа, поэтому \(y \geqslant 0\). Так как \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\), функция чётная. Нуль один: \(x = 0\); при всех \(x \ne 0\) значения положительны. Функция убывает при \(x \leqslant 0\) и возрастает при \(x \geqslant 0\). График — парабола.
\(y = x^3\). Определена при любом \(x\), значением может быть любое число. Так как \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); куб положительного числа положителен, куб отрицательного отрицателен. Функция возрастающая. График — кубическая парабола.
\(y = \dfrac{1}{x}\). Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), а её значением может быть любое число, кроме нуля. Так как \(f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)\), функция нечётная. Нулей нет: дробь с числителем 1 в нуль не обращается. При \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Функция убывает на каждом из промежутков \(x < 0\) и \(x > 0\), но убывающей на всей области определения не является. График — гипербола.
\(y = \dfrac{1}{x^2}\). Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), а её значения положительны, потому что \(x^2 > 0\) при \(x \ne 0\); значением может быть любое положительное число. Так как \(f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2} = f(x)\), функция чётная. Нулей нет, значения положительны при всех \(x \ne 0\). Чем ближе отрицательное \(x\) к нулю, тем больше \(y\), поэтому при \(x < 0\) функция возрастает; при \(x > 0\) она убывает. Особого названия у графика нет.
\(y = \sqrt{x}\). Корень имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и принимает только неотрицательные значения, причём любое неотрицательное число является значением. Область определения \(x \geqslant 0\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны. Функция возрастающая. График — ветвь параболы.
\(y = \sqrt[3]{x}\). Кубический корень существует при любом \(x\), и значением может быть любое число. Так как \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Большему значению аргумента отвечает больший кубический корень, поэтому функция возрастающая. Особого названия у графика нет.
Заполненная таблица:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Функция} & y = x & y = x^2 & y = x^3 & y = \frac{1}{x} \\ \hline \text{Область определения} & \text{все числа} & \text{все числа} & \text{все числа} & x \ne 0 \\ \hline \text{Множество значений} & \text{все числа} & y \geqslant 0 & \text{все числа} & y \ne 0 \\ \hline \text{Чётность (нечётность)} & \text{нечётная} & \text{чётная} & \text{нечётная} & \text{нечётная} \\ \hline \text{Нули функции} & 0 & 0 & 0 & \text{нет} \\ \hline \text{Знакопостоянство} & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 & y > 0 \text{ при } x \ne 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 \\ \hline \text{Возрастание (убывание)} & \text{возрастает} & \text{убывает при } x \leqslant 0, \text{ возрастает при } x \geqslant 0 & \text{возрастает} & \text{убывает при } x < 0 \text{ и при } x > 0 \\ \hline \text{Название графика} & \text{прямая} & \text{парабола} & \text{кубическая парабола} & \text{гипербола} \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Функция} & y = \frac{1}{x^2} & y = \sqrt{x} & y = \sqrt[3]{x} \\ \hline \text{Область определения} & x \ne 0 & x \geqslant 0 & \text{все числа} \\ \hline \text{Множество значений} & y > 0 & y \geqslant 0 & \text{все числа} \\ \hline \text{Чётность (нечётность)} & \text{чётная} & \text{ни чётная, ни нечётная} & \text{нечётная} \\ \hline \text{Нули функции} & \text{нет} & 0 & 0 \\ \hline \text{Знакопостоянство} & y > 0 \text{ при } x \ne 0 & y > 0 \text{ при } x > 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 \\ \hline \text{Возрастание (убывание)} & \text{возрастает при } x < 0, \text{ убывает при } x > 0 & \text{возрастает} & \text{возрастает} \\ \hline \text{Название графика} & \text{нет} & \text{ветвь параболы} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Ответ: область определения — все числа у функций \(y = x\), \(y = x^2\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt[3]{x}\); \(x \ne 0\) у функций \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = \frac{1}{x^2}\); \(x \geqslant 0\) у функции \(y = \sqrt{x}\); множество значений — все числа у функций \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt[3]{x}\); \(y \geqslant 0\) у функций \(y = x^2\) и \(y = \sqrt{x}\); \(y \ne 0\) у функции \(y = \frac{1}{x}\); \(y > 0\) у функции \(y = \frac{1}{x^2}\); нечётны функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \frac{1}{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\), чётны \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x^2}\), а \(y = \sqrt{x}\) не является ни чётной, ни нечётной; нуль \(x = 0\) имеют все функции, кроме \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = \frac{1}{x^2}\), у которых нулей нет; функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \frac{1}{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\) положительны при \(x > 0\) и отрицательны при \(x < 0\), функции \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x^2}\) положительны при всех \(x \ne 0\), функция \(y = \sqrt{x}\) положительна при \(x > 0\); возрастают функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\); функция \(y = x^2\) убывает при \(x \leqslant 0\) и возрастает при \(x \geqslant 0\); функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на каждом из промежутков \(x < 0\) и \(x > 0\); функция \(y = \frac{1}{x^2}\) возрастает при \(x < 0\) и убывает при \(x > 0\); график функции \(y = x\) — прямая, \(y = x^2\) — парабола, \(y = x^3\) — кубическая парабола, \(y = \frac{1}{x}\) — гипербола, \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, а у графиков функций \(y = \frac{1}{x^2}\) и \(y = \sqrt[3]{x}\) особых названий нет.
Область определения каждой функции — все значения \(x\), при которых её формула имеет смысл; множество значений — все числа, которые при этом принимает \(y\). Функция чётна, если \(f(-x) = f(x)\), и нечётна, если \(f(-x) = -f(x)\), причём в обоих случаях область определения должна быть симметрична относительно нуля. Нули — те значения \(x\), при которых \(y = 0\); промежутки знакопостоянства и промежутки возрастания (убывания) видны по графику.
\(y = x\). Формула имеет смысл при любом \(x\), и значением может быть любое число. Так как \(f(-x) = -x = -f(x)\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Большему значению аргумента отвечает большее значение функции, поэтому функция возрастающая. График — прямая.
\(y = x^2\). Формула имеет смысл при любом \(x\), а квадрат неотрицателен, причём любое неотрицательное число является квадратом некоторого числа, поэтому \(y \geqslant 0\). Так как \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\), функция чётная. Нуль один: \(x = 0\); при всех \(x \ne 0\) значения положительны. Функция убывает при \(x \leqslant 0\) и возрастает при \(x \geqslant 0\). График — парабола.
\(y = x^3\). Формула имеет смысл при любом \(x\), и значением может быть любое число. Так как \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); куб положительного числа положителен, куб отрицательного отрицателен. Функция возрастающая. График — кубическая парабола.
\(y = \dfrac{1}{x}\). Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), а её значением может быть любое число, кроме нуля. Так как \(f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x} = -f(x)\), функция нечётная. Нулей нет: дробь с числителем 1 в нуль не обращается. При \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Функция убывает на каждом из промежутков \(x < 0\) и \(x > 0\), но убывающей на всей области определения она не является. График — гипербола.
\(y = \dfrac{1}{x^2}\). Дробь имеет смысл при \(x \ne 0\), а её значения положительны, потому что \(x^2 > 0\) при \(x \ne 0\); значением может быть любое положительное число. Так как \(f(-x) = \dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2} = f(x)\), функция чётная. Нулей нет, значения положительны при всех \(x \ne 0\). Чем ближе отрицательное \(x\) к нулю, тем больше \(y\), поэтому при \(x < 0\) функция возрастает; при \(x > 0\) она убывает. Особого названия у графика нет.
\(y = \sqrt{x}\). Арифметический квадратный корень имеет смысл при \(x \geqslant 0\) и принимает только неотрицательные значения, причём любое неотрицательное число является значением. Область определения \(x \geqslant 0\) несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны. Функция возрастающая. График — ветвь параболы.
\(y = \sqrt[3]{x}\). Кубический корень \(\sqrt[3]{a}\) — это число, куб которого равен \(a\); такое число существует при любом \(a\), поэтому функция определена при всех \(x\) и её значением может быть любое число. Так как \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\), функция нечётная. Нуль один: \(x = 0\); при \(x > 0\) значения положительны, при \(x < 0\) — отрицательны. Большему значению аргумента отвечает больший кубический корень, поэтому функция возрастающая. Особого названия у графика нет.
Заполненная таблица:
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Функция} & y = x & y = x^2 & y = x^3 & y = \frac{1}{x} \\ \hline \text{Область определения} & \text{все числа} & \text{все числа} & \text{все числа} & x \ne 0 \\ \hline \text{Множество значений} & \text{все числа} & y \geqslant 0 & \text{все числа} & y \ne 0 \\ \hline \text{Чётность (нечётность)} & \text{нечётная} & \text{чётная} & \text{нечётная} & \text{нечётная} \\ \hline \text{Нули функции} & 0 & 0 & 0 & \text{нет} \\ \hline \text{Знакопостоянство} & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 & y > 0 \text{ при } x \ne 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 \\ \hline \text{Возрастание (убывание)} & \text{возрастает} & \text{убывает при } x \leqslant 0, \text{ возрастает при } x \geqslant 0 & \text{возрастает} & \text{убывает при } x < 0 \text{ и при } x > 0 \\ \hline \text{Название графика} & \text{прямая} & \text{парабола} & \text{кубическая парабола} & \text{гипербола} \\ \hline \end{array}\] \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Функция} & y = \frac{1}{x^2} & y = \sqrt{x} & y = \sqrt[3]{x} \\ \hline \text{Область определения} & x \ne 0 & x \geqslant 0 & \text{все числа} \\ \hline \text{Множество значений} & y > 0 & y \geqslant 0 & \text{все числа} \\ \hline \text{Чётность (нечётность)} & \text{чётная} & \text{ни чётная, ни нечётная} & \text{нечётная} \\ \hline \text{Нули функции} & \text{нет} & 0 & 0 \\ \hline \text{Знакопостоянство} & y > 0 \text{ при } x \ne 0 & y > 0 \text{ при } x > 0 & y > 0 \text{ при } x > 0,\; y < 0 \text{ при } x < 0 \\ \hline \text{Возрастание (убывание)} & \text{возрастает при } x < 0, \text{ убывает при } x > 0 & \text{возрастает} & \text{возрастает} \\ \hline \text{Название графика} & \text{нет} & \text{ветвь параболы} & \text{нет} \\ \hline \end{array}\]
Ответ: область определения — все числа у функций \(y = x\), \(y = x^2\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt[3]{x}\); \(x \ne 0\) у функций \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = \frac{1}{x^2}\); \(x \geqslant 0\) у функции \(y = \sqrt{x}\); множество значений — все числа у функций \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt[3]{x}\); \(y \geqslant 0\) у функций \(y = x^2\) и \(y = \sqrt{x}\); \(y \ne 0\) у функции \(y = \frac{1}{x}\); \(y > 0\) у функции \(y = \frac{1}{x^2}\); нечётны функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \frac{1}{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\), чётны \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x^2}\), а \(y = \sqrt{x}\) не является ни чётной, ни нечётной; нуль \(x = 0\) имеют все функции, кроме \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = \frac{1}{x^2}\), у которых нулей нет; функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \frac{1}{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\) положительны при \(x > 0\) и отрицательны при \(x < 0\), функции \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x^2}\) положительны при всех \(x \ne 0\), функция \(y = \sqrt{x}\) положительна при \(x > 0\); возрастают функции \(y = x\), \(y = x^3\), \(y = \sqrt{x}\), \(y = \sqrt[3]{x}\); функция \(y = x^2\) убывает при \(x \leqslant 0\) и возрастает при \(x \geqslant 0\); функция \(y = \frac{1}{x}\) убывает на каждом из промежутков \(x < 0\) и \(x > 0\); функция \(y = \frac{1}{x^2}\) возрастает при \(x < 0\) и убывает при \(x > 0\); график функции \(y = x\) — прямая, \(y = x^2\) — парабола, \(y = x^3\) — кубическая парабола, \(y = \frac{1}{x}\) — гипербола, \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, а у графиков функций \(y = \frac{1}{x^2}\) и \(y = \sqrt[3]{x}\) особых названий нет.
