Страница 139 номер 5.3.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Модули противоположных чисел равны, поэтому \(|5 - x| = |x - 5|\), и функцию можно записать в виде \(y = |x - 3| + |x - 5| - 4\). Выражения под знаками модуля обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = 5\); эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка, и на каждом из них модули раскрываются по определению: \(|a| = a\) при \(a \geqslant 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\).

При \(x \leqslant 3\) оба выражения \(x - 3\) и \(x - 5\) неположительны, поэтому \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|x - 5| = 5 - x\): \[y = (3 - x) + (5 - x) - 4 = 3 - x + 5 - x - 4 = -2x + 4.\]

При \(3 \leqslant x \leqslant 5\) выражение \(x - 3\) неотрицательно, а \(x - 5\) неположительно, поэтому \(|x - 3| = x - 3\) и \(|x - 5| = 5 - x\): \[y = (x - 3) + (5 - x) - 4 = x - 3 + 5 - x - 4 = -2.\]

При \(x \geqslant 5\) оба выражения неотрицательны, поэтому \(|x - 3| = x - 3\) и \(|x - 5| = x - 5\): \[y = (x - 3) + (x - 5) - 4 = x - 3 + x - 5 - 4 = 2x - 12.\]

График состоит из трёх кусков: убывающего луча \(y = -2x + 4\), приходящего в точку \((3;\ -2)\); горизонтального отрезка \(y = -2\) между точками \((3;\ -2)\) и \((5;\ -2)\); возрастающего луча \(y = 2x - 12\), выходящего из точки \((5;\ -2)\). В точках стыка значения совпадают: формула \(-2x + 4\) при \(x = 3\) даёт \(-2\), формула \(2x - 12\) при \(x = 5\) тоже даёт \(-2\), поэтому линия не разрывается.

Ответ: \(y = -2x + 4\) при \(x \leqslant 3\); \(y = -2\) при \(3 \leqslant x \leqslant 5\); \(y = 2x - 12\) при \(x \geqslant 5\).