Страница 139 номер 5.3.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Модули противоположных чисел равны, поэтому \(|3 - x| = |x - 3|\), и функцию можно записать в виде \(y = |x - 5| - |x - 3| + 4\). Выражения под знаками модуля обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = 5\); эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка, и на каждом из них модули раскрываются по определению: \(|a| = a\) при \(a \geqslant 0\) и \(|a| = -a\) при \(a < 0\).

При \(x \leqslant 3\) оба выражения \(x - 5\) и \(x - 3\) неположительны, поэтому \(|x - 5| = 5 - x\) и \(|x - 3| = 3 - x\): \[y = (5 - x) - (3 - x) + 4 = 5 - x - 3 + x + 4 = 6.\]

При \(3 \leqslant x \leqslant 5\) выражение \(x - 5\) неположительно, а \(x - 3\) неотрицательно, поэтому \(|x - 5| = 5 - x\) и \(|x - 3| = x - 3\): \[y = (5 - x) - (x - 3) + 4 = 5 - x - x + 3 + 4 = -2x + 12.\]

При \(x \geqslant 5\) оба выражения неотрицательны, поэтому \(|x - 5| = x - 5\) и \(|x - 3| = x - 3\): \[y = (x - 5) - (x - 3) + 4 = x - 5 - x + 3 + 4 = 2.\]

График состоит из трёх кусков: горизонтального луча \(y = 6\), идущего влево из точки \((3;\ 6)\); отрезка прямой \(y = -2x + 12\) между точками \((3;\ 6)\) и \((5;\ 2)\); горизонтального луча \(y = 2\), идущего вправо из точки \((5;\ 2)\). В точках стыка значения совпадают: формула \(-2x + 12\) при \(x = 3\) даёт 6, а при \(x = 5\) даёт 2, поэтому линия не разрывается.

Ответ: \(y = 6\) при \(x \leqslant 3\); \(y = -2x + 12\) при \(3 \leqslant x \leqslant 5\); \(y = 2\) при \(x \geqslant 5\).