Страница 139 номер 5.3.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

График функции \(y = x + 2\) — прямая. График функции \(y = k(x - 3)\) при любом значении \(k\) проходит через точку \((3;\ 0)\): при \(x = 3\) выражение \(k(x - 3)\) обращается в нуль. При \(k \ne 0\) это наклонная прямая, а при \(k = 0\) функция принимает вид \(y = 0\), и её графиком служит сама ось абсцисс.

Абсциссу общей точки графиков найдём из уравнения: \[x + 2 = k(x - 3),\] \[x + 2 = kx - 3k,\] \[x - kx = -3k - 2,\] \[(1 - k)x = -(3k + 2).\]

При \(k = 1\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -5\); оно не имеет корней, значит, общих точек у графиков нет. Это и понятно: прямые \(y = x + 2\) и \(y = x - 3\) имеют один и тот же угловой коэффициент 1, то есть параллельны.

При \(k \ne 1\) уравнение имеет единственный корень \[x = \frac{-(3k + 2)}{1 - k} = \frac{3k + 2}{k - 1},\] а ордината общей точки равна \[y = x + 2 = \frac{3k + 2}{k - 1} + 2 = \frac{3k + 2 + 2k - 2}{k - 1} = \frac{5k}{k - 1}.\]

1) Графики не пересекаются только при \(k = 1\).

3) Общая точка лежит на оси ординат, когда её абсцисса равна нулю: \(\frac{3k + 2}{k - 1} = 0\), то есть \(3k + 2 = 0\), откуда \(k = -\frac{2}{3}\). Тогда \(y = \frac{5 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{-\frac{10}{3}}{-\frac{5}{3}} = 2\), и общая точка — \((0;\ 2)\).

5) Общая точка лежит на оси абсцисс, когда её ордината равна нулю: \(\frac{5k}{k - 1} = 0\), то есть \(k = 0\). Тогда \(x = \frac{2}{-1} = -2\), и общая точка — \((-2;\ 0)\). При \(k = 0\) график второй функции — сама ось абсцисс, и она пересекает прямую \(y = x + 2\) в точке \((-2;\ 0)\).

Чтобы ответить на остальные вопросы, надо узнать знаки чисел \(x\) и \(y\). Дробь \(\frac{3k + 2}{k - 1}\) обращается в нуль при \(k = -\frac{2}{3}\) и не имеет смысла при \(k = 1\); дробь \(\frac{5k}{k - 1}\) обращается в нуль при \(k = 0\) и не имеет смысла при \(k = 1\). Числа \(-\frac{2}{3}\), 0 и 1 разбивают все значения \(k\) на четыре промежутка, и на каждом из них знаки дробей постоянны. Найдём их, подставив по одному значению из каждого промежутка (\(k = -1\); \(k = -0{,}5\); \(k = 0{,}5\); \(k = 2\)): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline k & k < -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} < k < 0 & 0 < k < 1 & k > 1 \\ \hline x & + & - & - & + \\ \hline y & + & + & - & + \\ \hline \end{array}\]

2) В первой четверти абсцисса и ордината положительны, поэтому графики пересекаются в первой четверти при \(k < -\frac{2}{3}\) и при \(k > 1\).

4) Во второй четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна, поэтому графики пересекаются во второй четверти при \(-\frac{2}{3} < k < 0\).

6) В третьей четверти обе координаты отрицательны, поэтому графики пересекаются в третьей четверти при \(0 < k < 1\).

Ответ: 1) \(k = 1\); 2) \(k < -\frac{2}{3}\), \(k > 1\); 3) \(k = -\frac{2}{3}\); 4) \(-\frac{2}{3} < k < 0\); 5) \(k = 0\); 6) \(0 < k < 1\).