Страница 138 номер 5.3.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Дано:
\(v_0 = 30\) м/с
\(\alpha = 30^\circ\)
\(d = 45\) м — расстояние от мячика до стены
высота панели каждого этажа — 3 м
\(g = 9{,}8\) м/с\(^2\)

Найти: 1) время полёта мячика до удара о стену; 2) этаж, на уровне которого произошёл удар; 3) при подъёме или при спуске произошёл удар.

Решение:

Начальная скорость раскладывается на горизонтальную и вертикальную составляющие: \(v_x = v_0\cos\alpha\) и \(v_y = v_0\sin\alpha\). Так как \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), то \[v_x = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \text{ (м/с)}, \qquad v_y = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \text{ (м/с)}.\]

1) По горизонтали мячик движется равномерно, поэтому до стены он летит время \(t\), при котором \(v_xt = d\): \[t = \frac{45}{15\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ (с)}.\]

2) Высота мячика над землёй через \(t\) секунд равна \(h = v_yt - \frac{gt^2}{2} = 15t - 4{,}9t^2\). В момент удара \(t = \sqrt{3}\) с, а \(\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3\), поэтому \[h = 15\sqrt{3} - 4{,}9 \cdot 3 = 15\sqrt{3} - 14{,}7.\] Так как \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), получаем \(h \approx 15 \cdot 1{,}73 - 14{,}7 = 25{,}95 - 14{,}7 = 11{,}25\) (м).

Первый этаж занимает по высоте промежуток от 0 до 3 м, второй — от 3 до 6 м, третий — от 6 до 9 м, четвёртый — от 9 до 12 м. Так как \(9 < 11{,}25 < 12\), удар пришёлся на уровень четвёртого этажа.

3) Высота \(h = 15t - 4{,}9t^2\) — квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при \(t^2\), её график — парабола ветвями вниз; мячик поднимается до вершины этой параболы и после неё опускается. Абсцисса вершины: \[t_0 = \frac{15}{2 \cdot 4{,}9} = \frac{15}{9{,}8} \approx 1{,}53 \text{ (с)}.\] Момент удара \(t = \sqrt{3} \approx 1{,}73\) с наступает позже, чем \(1{,}53\) с, значит, удар о стену произошёл при спуске мячика.

Ответ: 1) \(\sqrt{3}\) с; 2) на уровне четвёртого этажа; 3) при спуске.