7класс

Страница 138 номер 5.3.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§5. Функции. 5.3. Степенная функция. Свойства функций. Страница 138. Номер 5.3.45

Дано:
\(v_0 = 29{,}4\) м/с
\(\alpha_1 = 60^\circ\) — красный шарик
\(\alpha_2 = 45^\circ\) — жёлтый шарик
\(\alpha_3 = 30^\circ\) — зелёный шарик
интервал между вылетами — 1 с
\(g = 9{,}8\) м/с\(^2\)

Найти: 1) время полёта каждого шарика; 2) расстояние от точки \(A\) до места падения каждого шарика; 3) наибольшую высоту подъёма каждого шарика; 4) очерёдность падения шариков.

Решение:

Горизонтальная составляющая начальной скорости \(v_x = v_0\cos\alpha\), вертикальная \(v_y = v_0\sin\alpha\); по горизонтали движение равномерное, а высота над полем \(h = v_yt - \frac{gt^2}{2}\). Понадобятся значения \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

1) Шарик падает на поле при \(h = 0\): \(t\left(v_y - \frac{gt}{2}\right) = 0\); значение \(t = 0\) отвечает моменту вылета, поэтому время полёта \(T = \frac{2v_y}{g}\).

Красный: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14{,}7\sqrt{3}\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7\sqrt{3}}{9{,}8} = 3\sqrt{3}\) (с).

Жёлтый: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 14{,}7\sqrt{2}\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7\sqrt{2}}{9{,}8} = 3\sqrt{2}\) (с).

Зелёный: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{1}{2} = 14{,}7\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7}{9{,}8} = 3\) (с).

2) Расстояние до места падения — путь по горизонтали за всё время полёта: \(L = v_xT\).

Красный: \(v_x = 29{,}4 \cdot \frac{1}{2} = 14{,}7\) (м/с), \(L = 14{,}7 \cdot 3\sqrt{3} = 44{,}1\sqrt{3}\) (м).

Жёлтый: \(v_x = 14{,}7\sqrt{2}\) (м/с), \(L = 14{,}7\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 14{,}7 \cdot 3 \cdot 2 = 88{,}2\) (м).

Зелёный: \(v_x = 14{,}7\sqrt{3}\) (м/с), \(L = 14{,}7\sqrt{3} \cdot 3 = 44{,}1\sqrt{3}\) (м).

3) Высота — квадратичная функция от \(t\) с отрицательным коэффициентом при \(t^2\), поэтому наибольшее значение она принимает в вершине, при \(t = \frac{v_y}{g}\); отсюда наибольшая высота \(H = \frac{v_y^2}{2g}\).

Красный: \(H = \frac{\left(14{,}7\sqrt{3}\right)^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09 \cdot 3}{19{,}6} = \frac{648{,}27}{19{,}6} = 33{,}075\) (м).

Жёлтый: \(H = \frac{\left(14{,}7\sqrt{2}\right)^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09 \cdot 2}{19{,}6} = \frac{432{,}18}{19{,}6} = 22{,}05\) (м).

Зелёный: \(H = \frac{14{,}7^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09}{19{,}6} = 11{,}025\) (м).

4) Момент падения каждого шарика равен моменту его вылета плюс время полёта: красный вылетел в момент 0, жёлтый — через 1 с, зелёный — через 2 с.

Красный падает в момент \(3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1{,}73 = 5{,}19\) (с).

Жёлтый падает в момент \(1 + 3\sqrt{2} \approx 1 + 3 \cdot 1{,}41 = 5{,}23\) (с).

Зелёный падает в момент \(2 + 3 = 5\) (с).

Так как \(5 < 5{,}19 < 5{,}23\), первым упадёт зелёный шарик, вторым — красный, третьим — жёлтый.

Ответ: 1) красный \(3\sqrt{3}\) с, жёлтый \(3\sqrt{2}\) с, зелёный 3 с; 2) красный \(44{,}1\sqrt{3}\) м, жёлтый 88,2 м, зелёный \(44{,}1\sqrt{3}\) м; 3) красный 33,075 м, жёлтый 22,05 м, зелёный 11,025 м; 4) первым падает зелёный шарик, вторым красный, третьим жёлтый.

Решение:

Начальная скорость шарика, вылетевшего под углом \(\alpha\) к горизонту, раскладывается на две составляющие: горизонтальную \(v_x = v_0\cos\alpha\) и вертикальную \(v_y = v_0\sin\alpha\). По горизонтали шарик движется равномерно со скоростью \(v_x\), а по вертикали — как тело, брошенное вверх со скоростью \(v_y\), то есть его высота над полем равна \(h = v_yt - \frac{gt^2}{2}\). Понадобятся значения \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

1) Шарик падает на поле, когда \(h = 0\): \(v_yt - \frac{gt^2}{2} = 0\), то есть \(t\left(v_y - \frac{gt}{2}\right) = 0\). Значение \(t = 0\) отвечает моменту вылета, поэтому время полёта \(T = \frac{2v_y}{g}\).

Красный: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14{,}7\sqrt{3}\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7\sqrt{3}}{9{,}8} = 3\sqrt{3}\) (с).

Жёлтый: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 14{,}7\sqrt{2}\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7\sqrt{2}}{9{,}8} = 3\sqrt{2}\) (с).

Зелёный: \(v_y = 29{,}4 \cdot \frac{1}{2} = 14{,}7\) (м/с), \(T = \frac{2 \cdot 14{,}7}{9{,}8} = 3\) (с).

2) Расстояние от точки \(A\) до места падения — это путь, пройденный по горизонтали за всё время полёта: \(L = v_xT\).

Красный: \(v_x = 29{,}4 \cdot \frac{1}{2} = 14{,}7\) (м/с), \(L = 14{,}7 \cdot 3\sqrt{3} = 44{,}1\sqrt{3}\) (м).

Жёлтый: \(v_x = 14{,}7\sqrt{2}\) (м/с), \(L = 14{,}7\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 14{,}7 \cdot 3 \cdot 2 = 88{,}2\) (м).

Зелёный: \(v_x = 14{,}7\sqrt{3}\) (м/с), \(L = 14{,}7\sqrt{3} \cdot 3 = 44{,}1\sqrt{3}\) (м).

3) Высота \(h = v_yt - \frac{gt^2}{2}\) — квадратичная функция от \(t\) с отрицательным коэффициентом при \(t^2\), поэтому наибольшее значение она принимает в вершине, при \(t = \frac{v_y}{g}\) (это середина времени полёта). Подставив это значение, получим наибольшую высоту \(H = \frac{v_y^2}{2g}\).

Красный: \(H = \frac{\left(14{,}7\sqrt{3}\right)^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09 \cdot 3}{19{,}6} = \frac{648{,}27}{19{,}6} = 33{,}075\) (м).

Жёлтый: \(H = \frac{\left(14{,}7\sqrt{2}\right)^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09 \cdot 2}{19{,}6} = \frac{432{,}18}{19{,}6} = 22{,}05\) (м).

Зелёный: \(H = \frac{14{,}7^2}{19{,}6} = \frac{216{,}09}{19{,}6} = 11{,}025\) (м).

4) Шарики вылетают не одновременно, поэтому момент падения каждого равен моменту его вылета плюс время полёта. Красный вылетел в момент 0, жёлтый — через 1 с, зелёный — через 2 с.

Красный падает в момент \(3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1{,}73 = 5{,}19\) (с).

Жёлтый падает в момент \(1 + 3\sqrt{2} \approx 1 + 3 \cdot 1{,}41 = 5{,}23\) (с).

Зелёный падает в момент \(2 + 3 = 5\) (с).

Так как \(5 < 5{,}19 < 5{,}23\), первым упадёт зелёный шарик, вторым — красный, третьим — жёлтый.

Номер 5.3.44 Номер 5.3.46

смотреть все номера