Страница 138 номер 5.3.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решения неравенства — те значения \(x\), при которых точка первого графика лежит выше точки второго (для знаков \(>\) и \(\geqslant\)) или ниже неё (для знаков \(<\) и \(\leqslant\)); при нестрогом знаке добавляются и абсциссы общих точек, они же — границы промежутков.
1) \(x^2 - 1 \geqslant \sqrt{x}\).
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), поэтому и неравенство рассматривается только при \(x \geqslant 0\). У параболы \(y = x^2 - 1\) с вершиной \((0;\ -1)\) и ветви \(y = \sqrt{x}\), выходящей из начала координат, общая точка одна, её абсцисса \(x_1 \approx 1{,}5\).
Левее общей точки парабола идёт ниже ветви: при \(x = 0\) она даёт \(-1\), а \(\sqrt{0} = 0\). Правее — выше: при \(x = 3\) парабола даёт 8, а \(\sqrt{3}\) — примерно 1,7. Значит, решения — \(x \geqslant x_1\).
2) \(\sqrt{x + 1} \geqslant x^2 - 1\).
Выражение \(\sqrt{x + 1}\) имеет смысл при \(x \geqslant -1\). У ветви \(y = \sqrt{x + 1}\) и параболы \(y = x^2 - 1\) с вершиной \((0;\ -1)\) общих точек две, их абсциссы \(-1\) и \(x_2 \approx 1{,}6\).
Между общими точками ветвь идёт выше параболы: при \(x = 0\) она даёт 1, а парабола \(-1\). Правее точки с абсциссой \(x_2\) ветвь идёт ниже параболы: при \(x = 2\) она даёт \(\sqrt{3}\), то есть примерно 1,7, а парабола 3. Значит, решения — \(-1 \leqslant x \leqslant x_2\).
3) \(-\sqrt{x - 1} > -x^2 + 3\).
Выражение \(\sqrt{x - 1}\) имеет смысл при \(x \geqslant 1\). У графика \(y = -\sqrt{x - 1}\) и параболы \(y = -x^2 + 3\) ветвями вниз с вершиной \((0;\ 3)\) общая точка одна — \((2;\ -1)\).
При \(x = 1\) первая линия даёт 0, а парабола 2 — первая линия ниже. При \(x = 2{,}5\) первая линия даёт \(-\sqrt{1{,}5}\), то есть примерно \(-1{,}2\), а парабола \(-3{,}25\) — первая линия выше. Неравенство строгое, поэтому абсцисса общей точки в ответ не входит, и решения — \(x > 2\).
4) \(-x^2 + 6 < \sqrt{x + 2}\).
Выражение \(\sqrt{x + 2}\) имеет смысл при \(x \geqslant -2\). У параболы \(y = -x^2 + 6\) ветвями вниз с вершиной \((0;\ 6)\) и ветви \(y = \sqrt{x + 2}\) общая точка одна — \((2;\ 2)\).
При \(x = 0\) парабола даёт 6, а ветвь \(\sqrt{2}\), то есть примерно \(1{,}4\) — парабола выше. При \(x = 3\) парабола даёт \(-3\), а ветвь \(\sqrt{5}\), примерно \(2{,}2\) — парабола ниже. Значит, парабола лежит ниже ветви при \(x > 2\).
5) \(x^3 \leqslant \sqrt{x}\).
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Общие точки графиков \(y = x^3\) и \(y = \sqrt{x}\) — это \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Между общими точками кубическая парабола идёт ниже ветви: при \(x = 0{,}5\) она даёт 0,125, а \(\sqrt{0{,}5}\) — примерно 0,7. Правее точки \((1;\ 1)\) она идёт выше: при \(x = 2\) кубическая парабола даёт 8, а \(\sqrt{2}\) — примерно 1,4. Неравенство нестрогое, поэтому обе граничные точки входят в ответ, и решения — \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
6) \(\frac{1}{x} \geqslant x^3\).
Функция \(y = \frac{1}{x}\) определена при \(x \ne 0\). Общие точки графиков \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = x^3\) — это \((-1;\ -1)\) и \((1;\ 1)\).
При \(x = -2\) гипербола даёт \(-0{,}5\), а кубическая парабола \(-8\): гипербола выше. При \(x = -0{,}5\) гипербола даёт \(-2\), а кубическая парабола \(-0{,}125\): гипербола ниже. При \(x = 0{,}5\) гипербола даёт 2, а кубическая парабола 0,125: гипербола выше. При \(x = 2\) гипербола даёт 0,5, а кубическая парабола 8: гипербола ниже. Значит, гипербола лежит не ниже кубической параболы при \(x \leqslant -1\) и при \(0 < x \leqslant 1\). Граничные точки \(x = -1\) и \(x = 1\) входят в ответ, потому что в них обе части равны, а значение \(x = 0\) не входит: при нём левая часть не определена.
Ответ: 1) \(x \geqslant x_1\), \(x_1 \approx 1{,}5\); 2) \(-1 \leqslant x \leqslant x_2\), \(x_2 \approx 1{,}6\); 3) \(x > 2\); 4) \(x > 2\); 5) \(0 \leqslant x \leqslant 1\); 6) \(x \leqslant -1\), \(0 < x \leqslant 1\).
Каждое неравенство решается по графикам функций, записанных в его левой и правой частях. Если знак неравенства \(>\) или \(\geqslant\), решениями служат те значения \(x\), при которых точка первого графика лежит выше точки второго; если знак \(<\) или \(\leqslant\) — те значения \(x\), при которых точка первого графика лежит ниже точки второго. При нестрогом знаке к ним добавляются и те значения \(x\), при которых точки графиков совпадают. Границы промежутков — абсциссы общих точек графиков.
1) \(x^2 - 1 \geqslant \sqrt{x}\).
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\), поэтому и неравенство рассматривается только при \(x \geqslant 0\). График \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0;\ -1)\), график \(y = \sqrt{x}\) — ветвь, выходящая из начала координат. Общая точка у них одна, её абсцисса \(x_1 \approx 1{,}5\).
Левее общей точки парабола идёт ниже ветви: при \(x = 0\) она даёт \(-1\), а \(\sqrt{0} = 0\). Правее — выше: при \(x = 3\) парабола даёт 8, а \(\sqrt{3}\) — примерно 1,7. Значит, решения неравенства — \(x \geqslant x_1\).
2) \(\sqrt{x + 1} \geqslant x^2 - 1\).
Выражение \(\sqrt{x + 1}\) имеет смысл при \(x \geqslant -1\). График \(y = \sqrt{x + 1}\) — ветвь \(y = \sqrt{x}\), перенесённая на 1 единицу влево; график \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0;\ -1)\). Общих точек две, их абсциссы \(-1\) и \(x_2 \approx 1{,}6\).
Между общими точками ветвь идёт выше параболы: при \(x = 0\) она даёт 1, а парабола \(-1\). Правее точки с абсциссой \(x_2\) ветвь идёт ниже параболы: при \(x = 2\) она даёт \(\sqrt{3}\), то есть примерно 1,7, а парабола 3. Значит, решения неравенства — \(-1 \leqslant x \leqslant x_2\).
3) \(-\sqrt{x - 1} > -x^2 + 3\).
Выражение \(\sqrt{x - 1}\) имеет смысл при \(x \geqslant 1\). График \(y = -\sqrt{x - 1}\) получается из графика \(y = \sqrt{x}\) переносом на 1 единицу вправо и отражением относительно оси \(x\); график \(y = -x^2 + 3\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 3)\). Общая точка одна — \((2;\ -1)\).
При \(x = 1\) первая линия даёт 0, а парабола 2 — первая линия ниже. При \(x = 2{,}5\) первая линия даёт \(-\sqrt{1{,}5}\), то есть примерно \(-1{,}2\), а парабола \(-3{,}25\) — первая линия выше. Неравенство строгое, поэтому абсцисса общей точки в ответ не входит, и решения — \(x > 2\).
4) \(-x^2 + 6 < \sqrt{x + 2}\).
Выражение \(\sqrt{x + 2}\) имеет смысл при \(x \geqslant -2\). График \(y = -x^2 + 6\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 6)\); график \(y = \sqrt{x + 2}\) — ветвь \(y = \sqrt{x}\), перенесённая на 2 единицы влево. Общая точка одна — \((2;\ 2)\).
При \(x = 0\) парабола даёт 6, а ветвь \(\sqrt{2}\), то есть примерно \(1{,}4\) — парабола выше. При \(x = 3\) парабола даёт \(-3\), а ветвь \(\sqrt{5}\), примерно \(2{,}2\) — парабола ниже. Значит, парабола лежит ниже ветви при \(x > 2\).
5) \(x^3 \leqslant \sqrt{x}\).
Выражение \(\sqrt{x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\). Общие точки графиков \(y = x^3\) и \(y = \sqrt{x}\) — это \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Между общими точками кубическая парабола идёт ниже ветви: при \(x = 0{,}5\) она даёт 0,125, а \(\sqrt{0{,}5}\) — примерно 0,7. Правее точки \((1;\ 1)\) она идёт выше: при \(x = 2\) кубическая парабола даёт 8, а \(\sqrt{2}\) — примерно 1,4. Неравенство нестрогое, поэтому обе граничные точки входят в ответ, и решения — \(0 \leqslant x \leqslant 1\).
6) \(\frac{1}{x} \geqslant x^3\).
Функция \(y = \frac{1}{x}\) определена при \(x \ne 0\). Общие точки графиков \(y = \frac{1}{x}\) и \(y = x^3\) — это \((-1;\ -1)\) и \((1;\ 1)\).
При \(x = -2\) гипербола даёт \(-0{,}5\), а кубическая парабола \(-8\): гипербола выше. При \(x = -0{,}5\) гипербола даёт \(-2\), а кубическая парабола \(-0{,}125\): гипербола ниже. При \(x = 0{,}5\) гипербола даёт 2, а кубическая парабола 0,125: гипербола выше. При \(x = 2\) гипербола даёт 0,5, а кубическая парабола 8: гипербола ниже. Значит, гипербола лежит не ниже кубической параболы при \(x \leqslant -1\) и при \(0 < x \leqslant 1\). Обе граничные точки \(x = -1\) и \(x = 1\) входят в ответ, потому что в них обе части равны, а значение \(x = 0\) не входит: при нём левая часть не определена.
Ответ: 1) \(x \geqslant x_1\), \(x_1 \approx 1{,}5\); 2) \(-1 \leqslant x \leqslant x_2\), \(x_2 \approx 1{,}6\); 3) \(x > 2\); 4) \(x > 2\); 5) \(0 \leqslant x \leqslant 1\); 6) \(x \leqslant -1\), \(0 < x \leqslant 1\).
