Страница 138 номер 5.3.41, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить графически уравнение: 1) \(x^2 - 1 = \sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{x + 1} = x^2 - 1\); 3) \(-\sqrt{x - 1} = -x^2 + 3\); 4) \(-x^2 + 6 = \sqrt{x + 2}\); 5) \(x^3 = \sqrt{x}\); 6) \(\frac{1}{x} = x^3\).
Корни уравнения — абсциссы общих точек графиков функций из левой и правой частей.
1) \(x^2 - 1 = \sqrt{x}\).
\(y = x^2 - 1\) — парабола \(y = x^2\), перенесённая на 1 единицу вниз, с вершиной \((0;\ -1)\); \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, выходящая из начала координат, определена только при \(x \geqslant 0\).
Общая точка у графиков одна, её абсцисса \(x \approx 1{,}5\).
2) \(\sqrt{x + 1} = x^2 - 1\).
\(y = \sqrt{x + 1}\) — график \(y = \sqrt{x}\), перенесённый на 1 единицу влево, определён при \(x \geqslant -1\); \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0;\ -1)\).
Общих точек две. Абсцисса левой точки равна \(-1\): при \(x = -1\) обе части обращаются в нуль, так как \(\sqrt{-1 + 1} = 0\) и \((-1)^2 - 1 = 0\). Абсцисса правой точки \(x_2 \approx 1{,}6\).
3) \(-\sqrt{x - 1} = -x^2 + 3\).
\(y = -\sqrt{x - 1}\) определена при \(x \geqslant 1\), её график получается из графика \(y = \sqrt{x}\) переносом на 1 единицу вправо и отражением относительно оси \(x\); \(y = -x^2 + 3\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 3)\).
Общая точка одна: \((2;\ -1)\), её абсцисса \(x = 2\). Проверка: \(-\sqrt{2 - 1} = -1\) и \(-2^2 + 3 = -1\).
4) \(-x^2 + 6 = \sqrt{x + 2}\).
\(y = -x^2 + 6\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 6)\); \(y = \sqrt{x + 2}\) — график \(y = \sqrt{x}\), перенесённый на 2 единицы влево, определён при \(x \geqslant -2\).
Общая точка одна: \((2;\ 2)\), её абсцисса \(x = 2\). Проверка: \(-2^2 + 6 = 2\) и \(\sqrt{2 + 2} = 2\).
5) \(x^3 = \sqrt{x}\).
\(y = x^3\) — кубическая парабола, проходящая через начало координат; функция \(y = \sqrt{x}\) определена при \(x \geqslant 0\).
Общих точек две: \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\); их абсциссы \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).
6) \(\frac{1}{x} = x^3\).
\(y = \frac{1}{x}\) — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях, определена при \(x \ne 0\); \(y = x^3\) — кубическая парабола.
Общих точек две: \((-1;\ -1)\) и \((1;\ 1)\); их абсциссы \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
Ответ: 1) \(x \approx 1{,}5\); 2) \(x_1 = -1\), \(x_2 \approx 1{,}6\); 3) \(x = 2\); 4) \(x = 2\); 5) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\); 6) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).
Решить графически уравнение: 1) \(x^2 - 1 = \sqrt{x}\); 2) \(\sqrt{x + 1} = x^2 - 1\); 3) \(-\sqrt{x - 1} = -x^2 + 3\); 4) \(-x^2 + 6 = \sqrt{x + 2}\); 5) \(x^3 = \sqrt{x}\); 6) \(\frac{1}{x} = x^3\).
Корни уравнения — это абсциссы общих точек графиков функций, записанных в левой и правой частях уравнения.
1) \(x^2 - 1 = \sqrt{x}\).
График \(y = x^2 - 1\) — парабола \(y = x^2\), перенесённая на 1 единицу вниз, с вершиной \((0;\ -1)\). График \(y = \sqrt{x}\) — ветвь параболы, выходящая из начала координат; эта функция определена только при \(x \geqslant 0\).
Общая точка у графиков одна, её абсцисса \(x \approx 1{,}5\).
2) \(\sqrt{x + 1} = x^2 - 1\).
График \(y = \sqrt{x + 1}\) — график \(y = \sqrt{x}\), перенесённый на 1 единицу влево; функция определена при \(x \geqslant -1\). График \(y = x^2 - 1\) — парабола с вершиной \((0;\ -1)\).
Общих точек две. Абсцисса левой точки равна \(-1\): при \(x = -1\) обе части уравнения обращаются в нуль, так как \(\sqrt{-1 + 1} = 0\) и \((-1)^2 - 1 = 0\). Абсцисса правой точки \(x_2 \approx 1{,}6\).
3) \(-\sqrt{x - 1} = -x^2 + 3\).
Функция \(y = -\sqrt{x - 1}\) определена при \(x \geqslant 1\); её значения противоположны значениям функции \(y = \sqrt{x - 1}\), поэтому её график получается из графика \(y = \sqrt{x}\) переносом на 1 единицу вправо и отражением относительно оси \(x\). График \(y = -x^2 + 3\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 3)\).
Общая точка одна: \((2;\ -1)\), её абсцисса \(x = 2\). Проверка: \(-\sqrt{2 - 1} = -1\) и \(-2^2 + 3 = -1\).
4) \(-x^2 + 6 = \sqrt{x + 2}\).
График \(y = -x^2 + 6\) — парабола ветвями вниз с вершиной \((0;\ 6)\). График \(y = \sqrt{x + 2}\) — график \(y = \sqrt{x}\), перенесённый на 2 единицы влево; функция определена при \(x \geqslant -2\).
Общая точка одна: \((2;\ 2)\), её абсцисса \(x = 2\). Проверка: \(-2^2 + 6 = 2\) и \(\sqrt{2 + 2} = 2\).
5) \(x^3 = \sqrt{x}\).
График \(y = x^3\) — кубическая парабола, проходящая через начало координат. Функция \(y = \sqrt{x}\) определена при \(x \geqslant 0\).
Общих точек две: \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\); их абсциссы \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 1\).
6) \(\frac{1}{x} = x^3\).
График \(y = \frac{1}{x}\) — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; функция определена при \(x \ne 0\). График \(y = x^3\) — кубическая парабола.
Общих точек две: \((-1;\ -1)\) и \((1;\ 1)\); их абсциссы \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\).
Ответ: 1) \(x \approx 1{,}5\); 2) \(x_1 = -1\), \(x_2 \approx 1{,}6\); 3) \(x = 2\); 4) \(x = 2\); 5) \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\); 6) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\).
