Страница 137 номер 5.3.40, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Число решений системы равно числу точек пересечения линий, заданных её уравнениями.
1) \(y = \frac{2}{x}\) — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях (\(x \ne 0\)); \(y = -x^2\) — парабола с вершиной в начале координат и ветвями вниз, лежит не выше оси \(x\). При \(x > 0\) ветвь гиперболы выше оси \(x\), а парабола не выше её — общих точек справа нет. При \(x < 0\) обе линии ниже оси \(x\) и пересекаются один раз.
2) \(y = -\frac{4}{x}\) — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; \(y = x^2\) — парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, лежит не ниже оси \(x\). При \(x > 0\) гипербола ниже оси \(x\), а парабола не ниже её — общих точек справа нет. При \(x < 0\) обе линии выше оси \(x\) и пересекаются один раз.
3) \(y = -\frac{5}{x}\) — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; функция \(y = -2\sqrt{x}\) определена только при \(x \geqslant 0\), а гипербола — только при \(x \ne 0\), поэтому общие точки возможны лишь при \(x > 0\). Там обе линии ниже оси \(x\): с ростом \(x\) гипербола поднимается, приближаясь к оси \(x\), а график \(y = -2\sqrt{x}\) опускается от нуля, поэтому они пересекаются ровно один раз.
4) \(y = \frac{1}{2x}\) — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; функция \(y = 3\sqrt{x}\) определена только при \(x \geqslant 0\), поэтому общие точки возможны лишь при \(x > 0\). Там гипербола убывает, приближаясь к оси \(x\), а график \(y = 3\sqrt{x}\) возрастает от нуля, поэтому линии пересекаются ровно один раз.
5) Функция \(y = -\frac{1}{3}\sqrt{x}\) определена при \(x \geqslant 0\) и принимает только неположительные значения, то есть её график лежит не выше оси \(x\); \(y = x^2 + 2\), а так как \(x^2 \geqslant 0\), то \(y \geqslant 2\) при всех \(x\), то есть эта парабола лежит не ниже прямой \(y = 2\). Общих точек нет, система решений не имеет.
6) Функция \(y = \frac{1}{2}\sqrt{x}\) определена при \(x \geqslant 0\) и возрастает от нуля; \(y = 2 - x^2\) — парабола с вершиной \((0;\ 2)\) и ветвями вниз, при \(x \geqslant 0\) она убывает от 2. При \(x \geqslant 0\) одна линия поднимается от нуля, а другая опускается от 2, поэтому они пересекаются ровно один раз; при \(x < 0\) первая линия не определена, других общих точек нет.
Ответ: 1) одно решение; 2) одно решение; 3) одно решение; 4) одно решение; 5) решений нет; 6) одно решение.
Каждое уравнение системы задаёт на координатной плоскости свою линию. Решению системы отвечает общая точка этих линий, поэтому число решений системы равно числу точек пересечения графиков.
1) Из первого уравнения \(y = \frac{2}{x}\): это гипербола, ветви которой лежат в первой и третьей координатных четвертях (\(x \ne 0\)). Из второго уравнения \(y = -x^2\): это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вниз, она лежит не выше оси \(x\). При \(x > 0\) ветвь гиперболы лежит выше оси \(x\), а парабола — не выше её, поэтому справа общих точек нет. При \(x < 0\) обе линии лежат ниже оси \(x\) и пересекаются один раз.
2) Из первого уравнения \(y = -\frac{4}{x}\): гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях. Из второго уравнения \(y = x^2\): парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, она лежит не ниже оси \(x\). При \(x > 0\) гипербола лежит ниже оси \(x\), а парабола — не ниже её, поэтому справа общих точек нет. При \(x < 0\) обе линии лежат выше оси \(x\) и пересекаются один раз.
3) Из первого уравнения \(y = -\frac{5}{x}\): гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях. Из второго уравнения \(y = -2\sqrt{x}\); эта функция определена только при \(x \geqslant 0\), а гипербола — только при \(x \ne 0\), поэтому общие точки возможны лишь при \(x > 0\). Там обе линии лежат ниже оси \(x\): с ростом \(x\) гипербола поднимается, приближаясь к оси \(x\), а график \(y = -2\sqrt{x}\) опускается от нуля. Поэтому они пересекаются ровно один раз.
4) Из первого уравнения \(y = \frac{1}{2x}\): гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. Из второго уравнения \(y = 3\sqrt{x}\); эта функция определена только при \(x \geqslant 0\), поэтому общие точки возможны лишь при \(x > 0\). Там гипербола убывает, приближаясь к оси \(x\), а график \(y = 3\sqrt{x}\) возрастает от нуля, поэтому линии пересекаются ровно один раз.
5) Из первого уравнения \(y = -\frac{1}{3}\sqrt{x}\); эта функция определена при \(x \geqslant 0\) и принимает только неположительные значения, то есть её график лежит не выше оси \(x\). Из второго уравнения \(y = x^2 + 2\); так как \(x^2 \geqslant 0\), то \(y \geqslant 2\) при всех \(x\), то есть эта парабола лежит не ниже прямой \(y = 2\). Общих точек у линий нет, и система решений не имеет.
6) Из первого уравнения \(y = \frac{1}{2}\sqrt{x}\); эта функция определена при \(x \geqslant 0\) и возрастает от нуля. Из второго уравнения \(y = 2 - x^2\): парабола с вершиной \((0;\ 2)\) и ветвями вниз; при \(x \geqslant 0\) она убывает от 2. Значит, при \(x \geqslant 0\) одна линия поднимается от нуля, а другая опускается от 2, и пересекаются они ровно один раз; при \(x < 0\) первая линия не определена, поэтому других общих точек нет.
Ответ: 1) одно решение; 2) одно решение; 3) одно решение; 4) одно решение; 5) решений нет; 6) одно решение.
