Страница 137 номер 5.3.39, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Дробь имеет смысл при знаменателе, не равном нулю: это и задаёт область определения. После сокращения получается линейная функция, но выброшенное значение \(x\) в область определения не возвращается, поэтому график — прямая с одной выколотой точкой.
1) \(x + 2 \ne 0\), то есть \(x \ne -2\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2.\]
График — прямая \(y = x - 2\) без точки с абсциссой \(-2\); её ордината \(-2 - 2 = -4\), то есть выколота точка \((-2;\ -4)\). Прямую проведём через точки \((0;\ -2)\) и \((2;\ 0)\).
2) \(x - 3 \ne 0\), то есть \(x \ne 3\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3.\]
График — прямая \(y = x + 3\) без точки с абсциссой 3; её ордината \(3 + 3 = 6\), то есть выколота точка \((3;\ 6)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 3)\) и \((-3;\ 0)\).
3) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\); при таких \(x\) \[\frac{x^2 - 5x}{x} = \frac{x(x - 5)}{x} = x - 5.\]
График — прямая \(y = x - 5\) без точки с абсциссой 0; её ордината \(0 - 5 = -5\), то есть выколота точка \((0;\ -5)\). Прямую проведём через точки \((5;\ 0)\) и \((7;\ 2)\).
4) \(x + 6 \ne 0\), то есть \(x \ne -6\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 + 6x}{x + 6} = \frac{x(x + 6)}{x + 6} = x.\]
График — прямая \(y = x\) без точки с абсциссой \(-6\); её ордината равна \(-6\), то есть выколота точка \((-6;\ -6)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 2)\).
5) \(x + 3 \ne 0\), то есть \(x \ne -3\). Разложим числитель: \(2x^2 + 5x - 3 = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(2x - 1)\). При \(x \ne -3\) \[\frac{2x^2 + 5x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)(2x - 1)}{x + 3} = 2x - 1.\]
График — прямая \(y = 2x - 1\) без точки с абсциссой \(-3\); её ордината \(2 \cdot (-3) - 1 = -7\), то есть выколота точка \((-3;\ -7)\). Прямую проведём через точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ 1)\).
6) \(x - 2 \ne 0\), то есть \(x \ne 2\). Разложим числитель: \(3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(3x + 1)\). При \(x \ne 2\) \[\frac{3x^2 - 5x - 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(3x + 1)}{x - 2} = 3x + 1.\]
График — прямая \(y = 3x + 1\) без точки с абсциссой 2; её ордината \(3 \cdot 2 + 1 = 7\), то есть выколота точка \((2;\ 7)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 4)\).
Ответ: 1) прямая \(y = x - 2\) без точки \((-2;\ -4)\); 2) прямая \(y = x + 3\) без точки \((3;\ 6)\); 3) прямая \(y = x - 5\) без точки \((0;\ -5)\); 4) прямая \(y = x\) без точки \((-6;\ -6)\); 5) прямая \(y = 2x - 1\) без точки \((-3;\ -7)\); 6) прямая \(y = 3x + 1\) без точки \((2;\ 7)\).
Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю: это и задаёт область определения функции. После сокращения дроби получается линейная функция, но выброшенное значение \(x\) в область определения не возвращается, поэтому графиком служит прямая с одной «выколотой» точкой.
1) Знаменатель не равен нулю при \(x + 2 \ne 0\), то есть при \(x \ne -2\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2.\] Значит, график — прямая \(y = x - 2\) без точки с абсциссой \(-2\). Ордината этой точки равна \(-2 - 2 = -4\), то есть выколота точка \((-2;\ -4)\). Прямую проведём через точки \((0;\ -2)\) и \((2;\ 0)\).
2) Знаменатель не равен нулю при \(x - 3 \ne 0\), то есть при \(x \ne 3\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3.\] Значит, график — прямая \(y = x + 3\) без точки с абсциссой 3. Её ордината равна \(3 + 3 = 6\), то есть выколота точка \((3;\ 6)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 3)\) и \((-3;\ 0)\).
3) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 - 5x}{x} = \frac{x(x - 5)}{x} = x - 5.\] Значит, график — прямая \(y = x - 5\) без точки с абсциссой 0. Её ордината равна \(0 - 5 = -5\), то есть выколота точка \((0;\ -5)\). Прямую проведём через точки \((5;\ 0)\) и \((7;\ 2)\).
4) Знаменатель не равен нулю при \(x + 6 \ne 0\), то есть при \(x \ne -6\). При таких \(x\) \[\frac{x^2 + 6x}{x + 6} = \frac{x(x + 6)}{x + 6} = x.\] Значит, график — прямая \(y = x\) без точки с абсциссой \(-6\). Её ордината равна \(-6\), то есть выколота точка \((-6;\ -6)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 0)\) и \((2;\ 2)\).
5) Знаменатель не равен нулю при \(x + 3 \ne 0\), то есть при \(x \ne -3\). Разложим числитель на множители: \(2x^2 + 5x - 3 = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - (x + 3) = (x + 3)(2x - 1)\). При \(x \ne -3\) \[\frac{2x^2 + 5x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)(2x - 1)}{x + 3} = 2x - 1.\] Значит, график — прямая \(y = 2x - 1\) без точки с абсциссой \(-3\). Её ордината равна \(2 \cdot (-3) - 1 = -7\), то есть выколота точка \((-3;\ -7)\). Прямую проведём через точки \((0;\ -1)\) и \((1;\ 1)\).
6) Знаменатель не равен нулю при \(x - 2 \ne 0\), то есть при \(x \ne 2\). Разложим числитель на множители: \(3x^2 - 5x - 2 = 3x^2 - 6x + x - 2 = 3x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(3x + 1)\). При \(x \ne 2\) \[\frac{3x^2 - 5x - 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(3x + 1)}{x - 2} = 3x + 1.\] Значит, график — прямая \(y = 3x + 1\) без точки с абсциссой 2. Её ордината равна \(3 \cdot 2 + 1 = 7\), то есть выколота точка \((2;\ 7)\). Прямую проведём через точки \((0;\ 1)\) и \((1;\ 4)\).
Ответ: 1) прямая \(y = x - 2\) без точки \((-2;\ -4)\); 2) прямая \(y = x + 3\) без точки \((3;\ 6)\); 3) прямая \(y = x - 5\) без точки \((0;\ -5)\); 4) прямая \(y = x\) без точки \((-6;\ -6)\); 5) прямая \(y = 2x - 1\) без точки \((-3;\ -7)\); 6) прямая \(y = 3x + 1\) без точки \((2;\ 7)\).
