Страница 137 номер 5.3.38, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) При \(x \leqslant 0\) функция \(y = -x^2\) — левая половина параболы с вершиной \((0;\ 0)\) и ветвями вниз; при \(x > 0\) функция \(y = \sqrt{x}\) — ветвь, выходящая из начала координат и поднимающаяся вправо всё более полого.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = 0\) первая формула даёт \(y = 0\), и значения \(\sqrt{x}\) при малых положительных \(x\) близки к нулю, поэтому куски смыкаются в начале координат и линия не разрывается.
При \(x < 0\) значение \(-x^2\) отрицательно, при \(x = 0\) функция обращается в нуль, при \(x > 0\) значение \(\sqrt{x}\) положительно: функция принимает положительные значения при \(x > 0\) и отрицательные при \(x < 0\).
На промежутке \(x \leqslant 0\) большему значению аргумента отвечает большее значение функции (\(-4\); \(-1\); 0 при \(x\), равном \(-2\); \(-1\); 0), то есть функция возрастает; на промежутке \(x \geqslant 0\) возрастает и функция \(y = \sqrt{x}\). Куски смыкаются в точке \((0;\ 0)\), поэтому функция возрастает при всех значениях \(x\), а промежутков убывания у неё нет.
2) При \(x < 0\) функция \(y = x^3\) — часть кубической параболы, лежащая в третьей координатной четверти; при \(x \geqslant 0\) функция \(y = -\sqrt{x}\) — ветвь, выходящая из начала координат и опускающаяся вправо всё более полого.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}\]
При \(x = 0\) вторая формула даёт \(y = 0\), и значения \(x^3\) при малых отрицательных \(x\) близки к нулю, поэтому куски смыкаются в начале координат.
Куб отрицательного числа отрицателен, поэтому при \(x < 0\) значение \(x^3\) отрицательно; при \(x > 0\) значение \(-\sqrt{x}\) тоже отрицательно; при \(x = 0\) функция обращается в нуль. Значит, положительных значений эта функция не принимает, а отрицательные принимает при всех \(x \ne 0\).
На промежутке \(x \leqslant 0\) большему значению аргумента отвечает большее значение функции (\(-8\); \(-1\); 0 при \(x\), равном \(-2\); \(-1\); 0), то есть функция возрастает; на промежутке \(x \geqslant 0\) функция \(y = -\sqrt{x}\) убывает (0; \(-1\); \(-2\) при \(x\), равном 0; 1; 4). Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при \(x = 0\).
Ответ: 1) \(y > 0\) при \(x > 0\), \(y < 0\) при \(x < 0\), функция возрастает при всех значениях \(x\), промежутков убывания нет; 2) положительных значений функция не принимает, \(y < 0\) при \(x \ne 0\), функция возрастает на промежутке \(x \leqslant 0\) и убывает на промежутке \(x \geqslant 0\).
Функция задана двумя формулами: на каждом из промежутков строится своя линия, и график состоит из двух кусков.
1) На промежутке \(x \leqslant 0\) функция задана формулой \(y = -x^2\). Это левая половина параболы с вершиной \((0;\ 0)\) и ветвями вниз. На промежутке \(x > 0\) функция задана формулой \(y = \sqrt{x}\) — это ветвь, выходящая из начала координат и поднимающаяся вправо всё более полого. Составим таблицу значений для обоих кусков: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & -4 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}\] В точке \(x = 0\) первая формула даёт \(y = 0\), и значения \(\sqrt{x}\) при малых положительных \(x\) тоже близки к нулю, поэтому куски смыкаются в начале координат и линия не разрывается.
При \(x < 0\) значение \(-x^2\) отрицательно, при \(x = 0\) функция обращается в нуль, при \(x > 0\) значение \(\sqrt{x}\) положительно. Значит, функция принимает положительные значения при \(x > 0\) и отрицательные при \(x < 0\).
На промежутке \(x \leqslant 0\) большему значению аргумента отвечает большее значение функции (\(-4\); \(-1\); 0 при \(x\), равном \(-2\); \(-1\); 0), то есть функция возрастает; на промежутке \(x \geqslant 0\) возрастает и функция \(y = \sqrt{x}\). Куски смыкаются в точке \((0;\ 0)\), поэтому функция возрастает при всех значениях \(x\), а промежутков убывания у неё нет.
2) На промежутке \(x < 0\) функция задана формулой \(y = x^3\) — это часть кубической параболы, лежащая в третьей координатной четверти. На промежутке \(x \geqslant 0\) функция задана формулой \(y = -\sqrt{x}\): это ветвь, выходящая из начала координат и опускающаяся вправо всё более полого. Составим таблицу значений для обоих кусков: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}\] При \(x = 0\) вторая формула даёт \(y = 0\), и значения \(x^3\) при малых отрицательных \(x\) тоже близки к нулю, поэтому куски смыкаются в начале координат.
Куб отрицательного числа отрицателен, поэтому при \(x < 0\) значение \(x^3\) отрицательно; при \(x > 0\) значение \(-\sqrt{x}\) тоже отрицательно; при \(x = 0\) функция обращается в нуль. Значит, положительных значений эта функция не принимает, а отрицательные принимает при всех \(x \ne 0\).
На промежутке \(x \leqslant 0\) большему значению аргумента отвечает большее значение функции (\(-8\); \(-1\); 0 при \(x\), равном \(-2\); \(-1\); 0), то есть функция возрастает; на промежутке \(x \geqslant 0\) функция \(y = -\sqrt{x}\) убывает (0; \(-1\); \(-2\) при \(x\), равном 0; 1; 4). Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при \(x = 0\).
Ответ: 1) \(y > 0\) при \(x > 0\), \(y < 0\) при \(x < 0\), функция возрастает при всех значениях \(x\), промежутков убывания нет; 2) положительных значений функция не принимает, \(y < 0\) при \(x \ne 0\), функция возрастает на промежутке \(x \leqslant 0\) и убывает на промежутке \(x \geqslant 0\).
