Страница 137 номер 5.3.37, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пользуясь свойством симметрии, построить график нечётной функции: 1) \(y = |x|x + 4x\); 2) \(y = x|x| - 6x\); 3) \(y = -2x|x| + x\); 4) \(y = -4|x|x + 3x\).
\(|-x| = |x|\), поэтому, например, для первой функции \(y(-x) = |x| \cdot (-x) + 4 \cdot (-x) = -\left(|x|x + 4x\right) = -y(x)\); так же проверяются и остальные — все четыре функции нечётные. График нечётной функции симметричен относительно начала координат: строим часть при \(x \geqslant 0\), а левую достраиваем так, что точке \((a;\ b)\) правой части отвечает точка \((-a;\ -b)\) левой.
При \(x \geqslant 0\) модуль раскрывается так: \(|x| = x\).
1) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x + 4x = x^2 + 4x\) — часть параболы с ветвями вверх. Вершина: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = -4\), то есть точка \((-2;\ -4)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола поднимается, начиная с точки \((0;\ 0)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 5 & 12 & 21 \\ \hline \end{array}\]
2) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x - 6x = x^2 - 6x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\), \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = -9\), то есть точка \((3;\ -9)\). Нули этой части: \(x^2 - 6x = x(x - 6) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 6\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & -5 & -8 & -9 & -5 & 0 \\ \hline \end{array}\]
3) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -2x \cdot x + x = -2x^2 + x\) — часть параболы с ветвями вниз. Вершина: \(x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = 0{,}25\), \(y_0 = -2 \cdot 0{,}25^2 + 0{,}25 = -0{,}125 + 0{,}25 = 0{,}125\), то есть точка \((0{,}25;\ 0{,}125)\). Нули этой части: \(-2x^2 + x = x(1 - 2x) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 0{,}5\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}125 & 0 & -1 & -3 & -6 \\ \hline \end{array}\]
4) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -4x \cdot x + 3x = -4x^2 + 3x\) — часть параболы с ветвями вниз. Вершина: \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-4)} = 0{,}375\), \(y_0 = -4 \cdot 0{,}375^2 + 3 \cdot 0{,}375 = -0{,}5625 + 1{,}125 = 0{,}5625\), то есть точка \((0{,}375;\ 0{,}5625)\). Нули этой части: \(-4x^2 + 3x = x(3 - 4x) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 0{,}75\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 0 & -4{,}5 & -10 \\ \hline \end{array}\]
Пользуясь свойством симметрии, построить график нечётной функции: 1) \(y = |x|x + 4x\); 2) \(y = x|x| - 6x\); 3) \(y = -2x|x| + x\); 4) \(y = -4|x|x + 3x\).
Область определения каждой из этих функций — все числа, и она симметрична относительно нуля. При замене \(x\) на \(-x\) значение функции меняет знак: \(|-x| = |x|\), поэтому, например, для первой функции \(y(-x) = |x| \cdot (-x) + 4 \cdot (-x) = -\left(|x|x + 4x\right) = -y(x)\). Так же проверяется и каждая из остальных: все они нечётные. График нечётной функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно построить его часть при \(x \geqslant 0\), а левую часть достроить симметрично относительно начала координат: каждой точке \((a;\ b)\) правой части отвечает точка \((-a;\ -b)\) левой.
При \(x \geqslant 0\) модуль раскрывается по определению: \(|x| = x\).
1) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x + 4x = x^2 + 4x\) — часть параболы с ветвями вверх. Её вершина: \(x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2\), \(y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = -4\), то есть точка \((-2;\ -4)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола поднимается, начиная с точки \((0;\ 0)\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & 5 & 12 & 21 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно начала координат.
2) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x \cdot x - 6x = x^2 - 6x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\), \(y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = -9\), то есть точка \((3;\ -9)\). Нули этой части: \(x^2 - 6x = x(x - 6) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 6\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 6 \\ \hline y & 0 & -5 & -8 & -9 & -5 & 0 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно начала координат.
3) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -2x \cdot x + x = -2x^2 + x\) — часть параболы с ветвями вниз. Вершина: \(x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-2)} = 0{,}25\), \(y_0 = -2 \cdot 0{,}25^2 + 0{,}25 = -0{,}125 + 0{,}25 = 0{,}125\), то есть точка \((0{,}25;\ 0{,}125)\). Нули этой части: \(-2x^2 + x = x(1 - 2x) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 0{,}5\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}125 & 0 & -1 & -3 & -6 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно начала координат.
4) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -4x \cdot x + 3x = -4x^2 + 3x\) — часть параболы с ветвями вниз. Вершина: \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-4)} = 0{,}375\), \(y_0 = -4 \cdot 0{,}375^2 + 3 \cdot 0{,}375 = -0{,}5625 + 1{,}125 = 0{,}5625\), то есть точка \((0{,}375;\ 0{,}5625)\). Нули этой части: \(-4x^2 + 3x = x(3 - 4x) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 0{,}75\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 0{,}5 & 0{,}75 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 0 & -4{,}5 & -10 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно начала координат.
