Страница 137 номер 5.3.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пользуясь свойством симметрии, построить график чётной функции: 1) \(y = x^2 - 4|x| + 4\); 2) \(y = x^2 + 6|x| + 9\); 3) \(y = x^2 + 3|x|\); 4) \(y = x^2 - 5|x|\).
Каждая функция задана на всей прямой, и её область определения симметрична нулю; \((-x)^2 = x^2\) и \(|-x| = |x|\), поэтому \(y(-x) = y(x)\) — все четыре функции чётные. График чётной функции симметричен относительно оси \(y\): строим часть при \(x \geqslant 0\), а левую достраиваем отражением относительно оси ординат.
При \(x \geqslant 0\) модуль раскрывается так: \(|x| = x\).
1) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 - 4x + 4\) — часть параболы с ветвями вверх. Вершина: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 0\), то есть точка \((2;\ 0)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
2) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 + 6x + 9\). Вершина: \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\), \(y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 9 = 0\), то есть точка \((-3;\ 0)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола только поднимается, начиная с точки \((0;\ 9)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \hline \end{array}\]
3) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 + 3x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5\), \(y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25\), то есть точка \((-1{,}5;\ -2{,}25)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола поднимается, начиная с точки \((0;\ 0)\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 4 & 10 & 18 & 28 \\ \hline \end{array}\]
4) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 - 5x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2{,}5\), \(y_0 = 2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 = -6{,}25\), то есть точка \((2{,}5;\ -6{,}25)\). Нули этой части: \(x^2 - 5x = x(x - 5) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 5\).
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 2{,}5 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & -4 & -6 & -6{,}25 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}\]
Пользуясь свойством симметрии, построить график чётной функции: 1) \(y = x^2 - 4|x| + 4\); 2) \(y = x^2 + 6|x| + 9\); 3) \(y = x^2 + 3|x|\); 4) \(y = x^2 - 5|x|\).
Область определения каждой из этих функций — все числа, и она симметрична относительно нуля. При замене \(x\) на \(-x\) значение функции не меняется, потому что \((-x)^2 = x^2\) и \(|-x| = |x|\); значит, \(y(-x) = y(x)\) и функция чётная. График чётной функции симметричен относительно оси \(y\), поэтому достаточно построить его часть при \(x \geqslant 0\), а левую часть достроить симметрично относительно оси ординат.
При \(x \geqslant 0\) модуль раскрывается по определению: \(|x| = x\).
1) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 - 4x + 4\) — часть параболы с ветвями вверх. Координаты её вершины: \(x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 4 = 0\), то есть вершина — точка \((2;\ 0)\). Составим таблицу значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\] Проведём через эти точки правую половину графика и отразим её относительно оси \(y\).
2) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 + 6x + 9\). Вершина этой параболы: \(x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3\), \(y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 9 = 0\), то есть точка \((-3;\ 0)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола только поднимается, начиная с точки \((0;\ 9)\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 9 & 16 & 25 & 36 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно оси \(y\).
3) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 + 3x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5\), \(y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) = -2{,}25\), то есть точка \((-1{,}5;\ -2{,}25)\); она лежит левее нуля, поэтому на промежутке \(x \geqslant 0\) парабола поднимается, начиная с точки \((0;\ 0)\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 0 & 4 & 10 & 18 & 28 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно оси \(y\).
4) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = x^2 - 5x\). Вершина: \(x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2{,}5\), \(y_0 = 2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 = -6{,}25\), то есть точка \((2{,}5;\ -6{,}25)\). Нули этой части: \(x^2 - 5x = x(x - 5) = 0\), откуда \(x = 0\) и \(x = 5\). Таблица значений при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 2{,}5 & 4 & 5 \\ \hline y & 0 & -4 & -6 & -6{,}25 & -4 & 0 \\ \hline \end{array}\] Проведём правую половину графика и отразим её относительно оси \(y\).
