Страница 137 номер 5.3.35, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Возьмём ломаную с изломами в названных в условии точках и с лучами по краям: при \(k > 0\) звено поднимается, при \(k < 0\) опускается, при \(k = 0\) идёт горизонтально.
1) Излом при \(x = -2\) и при \(x = 2\): \[y = \begin{cases} x + 4, \text{ если } x \leqslant -2, \\ -x, \text{ если } -2 \leqslant x \leqslant 2, \\ x - 4, \text{ если } x \geqslant 2. \end{cases}\]
При \(x = -2\) оба выражения дают \(y = 2\), при \(x = 2\) оба дают \(y = -2\), поэтому линия не разрывается. Угловые коэффициенты звеньев равны \(1\); \(-1\); \(1\): функция возрастает, убывает, возрастает.
2) Излом при \(x = -3\) и при \(x = 1\): \[y = \begin{cases} -x - 5, \text{ если } x \leqslant -3, \\ x + 1, \text{ если } -3 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x + 3, \text{ если } x \geqslant 1. \end{cases}\]
При \(x = -3\) оба выражения дают \(y = -2\), при \(x = 1\) оба дают \(y = 2\). Угловые коэффициенты звеньев равны \(-1\); \(1\); \(-1\): функция убывает, возрастает, убывает.
3) Излом при \(x = -4\) и при \(x = 2\), между ними значение постоянно: \[y = \begin{cases} -x - 1, \text{ если } x \leqslant -4, \\ 3, \text{ если } -4 \leqslant x \leqslant 2, \\ x + 1, \text{ если } x \geqslant 2. \end{cases}\]
При \(x = -4\) и при \(x = 2\) оба соседних выражения дают \(y = 3\). На левом луче угловой коэффициент равен \(-1\) — функция убывает; на отрезке \(-4 \leqslant x \leqslant 2\) она постоянна и равна 3; на правом луче угловой коэффициент равен \(1\) — функция возрастает.
4) Излом при \(x = -5\) и при \(x = -1\), правее \(-1\) значение постоянно: \[y = \begin{cases} x + 11, \text{ если } x \leqslant -5, \\ -x + 1, \text{ если } -5 \leqslant x \leqslant -1, \\ 2, \text{ если } x \geqslant -1. \end{cases}\]
При \(x = -5\) оба соседних выражения дают \(y = 6\), при \(x = -1\) оба дают \(y = 2\). На левом луче угловой коэффициент равен \(1\) — функция возрастает; на отрезке \(-5 \leqslant x \leqslant -1\) он равен \(-1\) — функция убывает; на правом луче функция постоянна и равна 2.
Ответ: годится, например, ломаная: 1) \(y = x + 4\) при \(x \leqslant -2\), \(y = -x\) при \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), \(y = x - 4\) при \(x \geqslant 2\); 2) \(y = -x - 5\) при \(x \leqslant -3\), \(y = x + 1\) при \(-3 \leqslant x \leqslant 1\), \(y = -x + 3\) при \(x \geqslant 1\); 3) \(y = -x - 1\) при \(x \leqslant -4\), \(y = 3\) при \(-4 \leqslant x \leqslant 2\), \(y = x + 1\) при \(x \geqslant 2\); 4) \(y = x + 11\) при \(x \leqslant -5\), \(y = -x + 1\) при \(-5 \leqslant x \leqslant -1\), \(y = 2\) при \(x \geqslant -1\).
Формулой функция не задана: подойдёт любая линия, которая поднимается на тех промежутках, где функция должна возрастать, опускается там, где она должна убывать, и идёт горизонтально там, где значение постоянно. Возьмём самую простую такую линию — ломаную с изломами в точках, названных в условии, и с лучами по краям, чтобы функция была определена при всех значениях \(x\). У каждого звена угловой коэффициент постоянен: при \(k > 0\) линейная функция возрастает, при \(k < 0\) убывает, при \(k = 0\) принимает одно и то же значение.
1) Излом при \(x = -2\) и при \(x = 2\). Возьмём функцию \[y = \begin{cases} x + 4, \text{ если } x \leqslant -2, \\ -x, \text{ если } -2 \leqslant x \leqslant 2, \\ x - 4, \text{ если } x \geqslant 2. \end{cases}\] При \(x = -2\) оба выражения дают \(y = 2\), при \(x = 2\) оба дают \(y = -2\), поэтому линия не разрывается. На луче \(x \leqslant -2\) угловой коэффициент равен \(1\) — функция возрастает; на отрезке \(-2 \leqslant x \leqslant 2\) он равен \(-1\) — функция убывает; на луче \(x \geqslant 2\) он снова равен \(1\) — функция возрастает.
2) Излом при \(x = -3\) и при \(x = 1\). Возьмём функцию \[y = \begin{cases} -x - 5, \text{ если } x \leqslant -3, \\ x + 1, \text{ если } -3 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x + 3, \text{ если } x \geqslant 1. \end{cases}\] При \(x = -3\) оба выражения дают \(y = -2\), при \(x = 1\) оба дают \(y = 2\). Угловые коэффициенты звеньев равны \(-1\), \(1\) и \(-1\): функция убывает, затем возрастает, затем снова убывает — как и требуется.
3) Излом при \(x = -4\) и при \(x = 2\), а между ними значение постоянно. Возьмём функцию \[y = \begin{cases} -x - 1, \text{ если } x \leqslant -4, \\ 3, \text{ если } -4 \leqslant x \leqslant 2, \\ x + 1, \text{ если } x \geqslant 2. \end{cases}\] При \(x = -4\) и при \(x = 2\) оба соседних выражения дают \(y = 3\). На левом луче угловой коэффициент равен \(-1\) — функция убывает; на отрезке \(-4 \leqslant x \leqslant 2\) она постоянна и равна 3; на правом луче угловой коэффициент равен \(1\) — функция возрастает.
4) Излом при \(x = -5\) и при \(x = -1\), а правее \(-1\) значение постоянно. Возьмём функцию \[y = \begin{cases} x + 11, \text{ если } x \leqslant -5, \\ -x + 1, \text{ если } -5 \leqslant x \leqslant -1, \\ 2, \text{ если } x \geqslant -1. \end{cases}\] При \(x = -5\) оба соседних выражения дают \(y = 6\), при \(x = -1\) оба дают \(y = 2\). На левом луче угловой коэффициент равен \(1\) — функция возрастает; на отрезке \(-5 \leqslant x \leqslant -1\) он равен \(-1\) — функция убывает; на правом луче функция постоянна и равна 2.
Ответ: годится, например, ломаная: 1) \(y = x + 4\) при \(x \leqslant -2\), \(y = -x\) при \(-2 \leqslant x \leqslant 2\), \(y = x - 4\) при \(x \geqslant 2\); 2) \(y = -x - 5\) при \(x \leqslant -3\), \(y = x + 1\) при \(-3 \leqslant x \leqslant 1\), \(y = -x + 3\) при \(x \geqslant 1\); 3) \(y = -x - 1\) при \(x \leqslant -4\), \(y = 3\) при \(-4 \leqslant x \leqslant 2\), \(y = x + 1\) при \(x \geqslant 2\); 4) \(y = x + 11\) при \(x \leqslant -5\), \(y = -x + 1\) при \(-5 \leqslant x \leqslant -1\), \(y = 2\) при \(x \geqslant -1\).
