Страница 136 номер 5.3.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Функция возрастает на промежутке, если из условия \(x_2 > x_1\) следует \(f(x_2) > f(x_1)\), и убывает, если из того же условия следует \(f(x_2) < f(x_1)\). В каждом пункте берём два произвольных значения аргумента из промежутка, находим разность \(f(x_2) - f(x_1)\), раскладываем её на множители и определяем знак.
1) \(f(x) = x^2 - x\), промежуток \(x \geqslant 1\). Пусть \(x_2 > x_1 \geqslant 1\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^2 - x_2\right) - \left(x_1^2 - x_1\right) = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right) - (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 1). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен, так как \(x_2 > x_1\). Из неравенств \(x_1 \geqslant 1\) и \(x_2 > 1\) получаем \(x_1 + x_2 > 2\), поэтому \(x_1 + x_2 - 1 > 1\) — второй множитель тоже положителен. Произведение положительных чисел положительно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^2 - x\) возрастает на промежутке \(x \geqslant 1\).
2) \(f(x) = x^2 + x\), промежуток \(x \leqslant -1\). Пусть \(x_1 < x_2 \leqslant -1\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^2 + x_2\right) - \left(x_1^2 + x_1\right) = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right) + (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 1). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен. Из неравенств \(x_1 < -1\) и \(x_2 \leqslant -1\) получаем \(x_1 + x_2 < -2\), поэтому \(x_1 + x_2 + 1 < -1\) — второй множитель отрицателен. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^2 + x\) убывает на промежутке \(x \leqslant -1\).
3) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), промежуток \(x > 0\). Пусть \(0 < x_1 < x_2\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{x_2^2} - \frac{1}{x_1^2} = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}. \end{aligned}\]
Знаменатель положителен как произведение квадратов отличных от нуля чисел. В числителе \(x_1 - x_2 < 0\), а \(x_1 + x_2 > 0\) как сумма положительных чисел, поэтому числитель отрицателен. Значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) убывает на промежутке \(x > 0\).
4) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), промежуток \(x < 0\). Пусть \(x_1 < x_2 < 0\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{x_2^2} - \frac{1}{x_1^2} = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}. \end{aligned}\]
Знаменатель положителен. В числителе \(x_1 - x_2 < 0\) и \(x_1 + x_2 < 0\) как сумма отрицательных чисел, а произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому числитель положителен. Значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\), и функция \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) возрастает на промежутке \(x < 0\).
5) \(f(x) = x^4 - 1\), промежуток \(x \geqslant 0\). Пусть \(x_2 > x_1 \geqslant 0\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^4 - 1\right) - \left(x_1^4 - 1\right) = x_2^4 - x_1^4 = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right)\left(x_2^2 + x_1^2\right) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^2 + x_2^2\right). \end{aligned}\]
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен. Так как \(x_2 > x_1 \geqslant 0\), то \(x_2 > 0\), поэтому \(x_1 + x_2 > 0\) и \(x_1^2 + x_2^2 > 0\). Произведение трёх положительных чисел положительно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^4 - 1\) возрастает на промежутке \(x \geqslant 0\).
6) \(f(x) = x^6 + 1\), промежуток \(x \leqslant 0\). Пусть \(x_1 < x_2 \leqslant 0\). Разность разложим на множители, применив сначала формулу разности кубов к числам \(x_2^2\) и \(x_1^2\), а затем формулу разности квадратов:
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = x_2^6 - x_1^6 = \left(x_2^2\right)^3 - \left(x_1^2\right)^3 = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right) = {} \\ &= (x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right). \end{aligned}\]
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен. Так как \(x_1 < x_2 \leqslant 0\), то \(x_1 < 0\), поэтому \(x_1 + x_2 < 0\). Третий множитель положителен: \(x_1^4 > 0\), а слагаемые \(x_1^2 x_2^2\) и \(x_2^4\) неотрицательны. Произведение двух положительных чисел и одного отрицательного отрицательно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^6 + 1\) убывает на промежутке \(x \leqslant 0\).
Ответ: при \(x_2 > x_1\) разность значений функции равна 1) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 1) > 0\) при \(x \geqslant 1\); 2) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 1) < 0\) при \(x \leqslant -1\); 3) и 4) \(\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}\) — эта дробь отрицательна при \(x > 0\) и положительна при \(x < 0\); 5) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^2 + x_2^2\right) > 0\) при \(x \geqslant 0\); 6) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right) < 0\) при \(x \leqslant 0\); знак разности в каждом пункте и доказывает требуемое возрастание или убывание.
Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых \(x_1\) и \(x_2\) из этого промежутка из условия \(x_2 > x_1\) следует \(f(x_2) > f(x_1)\), и убывающей, если из условия \(x_2 > x_1\) следует \(f(x_2) < f(x_1)\). Поэтому в каждом пункте берём два произвольных значения аргумента из указанного промежутка, находим разность \(f(x_2) - f(x_1)\), раскладываем её на множители и определяем знак.
1) \(f(x) = x^2 - x\), промежуток \(x \geqslant 1\). Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — значения аргумента из этого промежутка, причём \(x_2 > x_1 \geqslant 1\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^2 - x_2\right) - \left(x_1^2 - x_1\right) = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right) - (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 1). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен, так как \(x_2 > x_1\). Из неравенств \(x_1 \geqslant 1\) и \(x_2 > 1\) получаем \(x_1 + x_2 > 2\), поэтому \(x_1 + x_2 - 1 > 1\), то есть второй множитель тоже положителен. Произведение положительных чисел положительно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\). Большему значению аргумента отвечает большее значение функции, поэтому функция \(f(x) = x^2 - x\) возрастает на промежутке \(x \geqslant 1\).
2) \(f(x) = x^2 + x\), промежуток \(x \leqslant -1\). Пусть \(x_1 < x_2 \leqslant -1\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^2 + x_2\right) - \left(x_1^2 + x_1\right) = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right) + (x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 1). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен. Из неравенств \(x_1 < -1\) и \(x_2 \leqslant -1\) получаем \(x_1 + x_2 < -2\), поэтому \(x_1 + x_2 + 1 < -1\), то есть второй множитель отрицателен. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\). Большему значению аргумента отвечает меньшее значение функции, поэтому функция \(f(x) = x^2 + x\) убывает на промежутке \(x \leqslant -1\).
3) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), промежуток \(x > 0\). Пусть \(0 < x_1 < x_2\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{x_2^2} - \frac{1}{x_1^2} = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}. \end{aligned}\]
Знаменатель дроби положителен как произведение квадратов отличных от нуля чисел. В числителе \(x_1 - x_2 < 0\), а \(x_1 + x_2 > 0\) как сумма положительных чисел, поэтому числитель отрицателен. Значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) убывает на промежутке \(x > 0\).
4) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\), промежуток \(x < 0\). Пусть \(x_1 < x_2 < 0\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \frac{1}{x_2^2} - \frac{1}{x_1^2} = \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1^2 x_2^2} = {} \\ &= \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}. \end{aligned}\]
Знаменатель положителен. В числителе \(x_1 - x_2 < 0\) и \(x_1 + x_2 < 0\) как сумма отрицательных чисел, а произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому числитель положителен. Значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\), и функция \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) возрастает на промежутке \(x < 0\).
5) \(f(x) = x^4 - 1\), промежуток \(x \geqslant 0\). Пусть \(x_2 > x_1 \geqslant 0\). Тогда
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2^4 - 1\right) - \left(x_1^4 - 1\right) = x_2^4 - x_1^4 = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right)\left(x_2^2 + x_1^2\right) = (x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^2 + x_2^2\right). \end{aligned}\]
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен. Так как \(x_2 > x_1 \geqslant 0\), то \(x_2 > 0\), поэтому \(x_1 + x_2 > 0\) и \(x_1^2 + x_2^2 > 0\). Произведение трёх положительных чисел положительно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^4 - 1\) возрастает на промежутке \(x \geqslant 0\).
6) \(f(x) = x^6 + 1\), промежуток \(x \leqslant 0\). Пусть \(x_1 < x_2 \leqslant 0\). Разность разложим на множители, применив сначала формулу разности кубов к числам \(x_2^2\) и \(x_1^2\), а затем формулу разности квадратов:
\[\begin{aligned} &f(x_2) - f(x_1) = x_2^6 - x_1^6 = \left(x_2^2\right)^3 - \left(x_1^2\right)^3 = {} \\ &= \left(x_2^2 - x_1^2\right)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right) = {} \\ &= (x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right). \end{aligned}\]
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен. Так как \(x_1 < x_2 \leqslant 0\), то \(x_1 < 0\), поэтому \(x_1 + x_2 < 0\). Третий множитель положителен: \(x_1^4 > 0\), а слагаемые \(x_1^2 x_2^2\) и \(x_2^4\) неотрицательны. Произведение двух положительных чисел и одного отрицательного отрицательно, значит, \(f(x_2) - f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\), и функция \(f(x) = x^6 + 1\) убывает на промежутке \(x \leqslant 0\).
Ответ: при \(x_2 > x_1\) разность значений функции равна 1) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 1) > 0\) при \(x \geqslant 1\); 2) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2 + 1) < 0\) при \(x \leqslant -1\); 3) и 4) \(\frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{x_1^2 x_2^2}\) — эта дробь отрицательна при \(x > 0\) и положительна при \(x < 0\); 5) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^2 + x_2^2\right) > 0\) при \(x \geqslant 0\); 6) \((x_2 - x_1)(x_1 + x_2)\left(x_1^4 + x_1^2 x_2^2 + x_2^4\right) < 0\) при \(x \leqslant 0\); знак разности в каждом пункте и доказывает требуемое возрастание или убывание.
