Страница 136 номер 5.3.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Все графики получаются из графика функции \(y = x^3\): кубическая парабола проходит через \((-2;\ -8)\), \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), \((2;\ 8)\), возрастает на всей числовой прямой и симметрична относительно начала координат. Область определения и множество значений каждой функции этого номера — все числа.
График функции \(y = f(x) + n\) получается переносом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх при \(n > 0\) и на \(-n\) единиц вниз при \(n < 0\); график функции \(y = f(x - m)\) — переносом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо при \(m > 0\) и на \(-m\) единиц влево при \(m < 0\). Множитель \(a\) в записи \(y = ax^3\) умножает все ординаты: при \(a > 1\) точки удаляются от оси \(x\), при \(0 < a < 1\) приближаются к ней, а графики с противоположными множителями симметричны относительно оси \(x\).
1) \(y = x^3 - 1\). Здесь \(n = -1\): перенос на 1 единицу вниз. Центр симметрии — \((0;\ -1)\), график проходит через \((-2;\ -9)\), \((-1;\ -2)\), \((0;\ -1)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 7)\); нуль функции \(x = 1\).
2) \(y = x^3 + 2\). Здесь \(n = 2\): перенос на 2 единицы вверх. Центр симметрии — \((0;\ 2)\), график проходит через \((-2;\ -6)\), \((-1;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((1;\ 3)\), \((2;\ 10)\).
3) \(y = (x + 3)^3\). Здесь \(m = -3\): перенос на 3 единицы влево. Центр симметрии — \((-3;\ 0)\), график проходит через \((-5;\ -8)\), \((-4;\ -1)\), \((-3;\ 0)\), \((-2;\ 1)\), \((-1;\ 8)\); нуль функции \(x = -3\).
4) \(y = (x - 3)^3\). Здесь \(m = 3\): перенос на 3 единицы вправо. Центр симметрии — \((3;\ 0)\), график проходит через \((1;\ -8)\), \((2;\ -1)\), \((3;\ 0)\), \((4;\ 1)\), \((5;\ 8)\); нуль функции \(x = 3\).
5) \(y = 2x^3\). Каждая ордината умножается на 2. График проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ -6{,}75)\), \((-1;\ -2)\), \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 6{,}75)\); функция возрастает.
6) \(y = 3x^3\). Каждая ордината умножается на 3. График проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ -10{,}125)\), \((-1;\ -3)\), \((1;\ 3)\), \((1{,}5;\ 10{,}125)\); функция возрастает.
7) \(y = -2x^3\). Ординаты умножаются на \(-2\), поэтому график симметричен графику функции \(y = 2x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ 6{,}75)\), \((-1;\ 2)\), \((1;\ -2)\), \((1{,}5;\ -6{,}75)\); функция убывает.
8) \(y = -3x^3\). Ординаты умножаются на \(-3\), поэтому график симметричен графику функции \(y = 3x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ 10{,}125)\), \((-1;\ 3)\), \((1;\ -3)\), \((1{,}5;\ -10{,}125)\); функция убывает.
9) \(y = \frac{1}{3}x^3\). Каждая ордината уменьшается в 3 раза. График проходит через начало координат и через точки \((-3;\ -9)\), \((-1{,}5;\ -1{,}125)\), \((1{,}5;\ 1{,}125)\), \((3;\ 9)\); функция возрастает.
10) \(y = \frac{1}{2}x^3\). Каждая ордината уменьшается в 2 раза. График проходит через начало координат и через точки \((-2;\ -4)\), \((-1;\ -0{,}5)\), \((1;\ 0{,}5)\), \((2;\ 4)\); функция возрастает.
11) \(y = -\frac{1}{3}x^3\). Ординаты умножаются на \(-\frac{1}{3}\), поэтому график симметричен графику функции \(y = \frac{1}{3}x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-3;\ 9)\), \((-1{,}5;\ 1{,}125)\), \((1{,}5;\ -1{,}125)\), \((3;\ -9)\); функция убывает.
12) \(y = -\frac{1}{2}x^3\). Ординаты умножаются на \(-\frac{1}{2}\), поэтому график симметричен графику функции \(y = \frac{1}{2}x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-2;\ 4)\), \((-1;\ 0{,}5)\), \((1;\ -0{,}5)\), \((2;\ -4)\); функция убывает.
13) \(y = (x - 5)^3 - 1\). Здесь \(m = 5\) и \(n = -1\): перенос на 5 единиц вправо и на 1 единицу вниз. Центр симметрии — \((5;\ -1)\), график проходит через \((3;\ -9)\), \((4;\ -2)\), \((5;\ -1)\), \((6;\ 0)\), \((7;\ 7)\); нуль функции \(x = 6\).
14) \(y = (x + 4)^3 + 1\). Здесь \(m = -4\) и \(n = 1\): перенос на 4 единицы влево и на 1 единицу вверх. Центр симметрии — \((-4;\ 1)\), график проходит через \((-6;\ -7)\), \((-5;\ 0)\), \((-4;\ 1)\), \((-3;\ 2)\), \((-2;\ 9)\); нуль функции \(x = -5\).
15) \(y = -(x + 2)^3 - 3\). График функции \(y = -x^3\) симметричен кубической параболе относительно оси \(x\); его переносят на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Центр симметрии — \((-2;\ -3)\), график проходит через \((-4;\ 5)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ -3)\), \((-1;\ -4)\), \((0;\ -11)\); функция убывает.
16) \(y = -(x - 2)^3 + 3\). График функции \(y = -x^3\) переносят на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Центр симметрии — \((2;\ 3)\), график проходит через \((0;\ 11)\), \((1;\ 4)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 2)\), \((4;\ -5)\); функция убывает.
Все графики получаются из графика функции \(y = x^3\). Кубическая парабола проходит через точки \((-2;\ -8)\), \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), \((2;\ 8)\), возрастает на всей числовой прямой и симметрична относительно начала координат. Область определения и множество значений каждой функции этого номера — все числа.
График функции \(y = f(x) + n\) получается из графика функции \(y = f(x)\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх при \(n > 0\) и на \(-n\) единиц вниз при \(n < 0\). График функции \(y = f(x - m)\) получается параллельным переносом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо при \(m > 0\) и на \(-m\) единиц влево при \(m < 0\). Множитель \(a\) в записи \(y = ax^3\) умножает все ординаты: при \(a > 1\) точки удаляются от оси \(x\), при \(0 < a < 1\) приближаются к ней. Так как точки \((x;\ y)\) и \((x;\ -y)\) симметричны относительно оси \(x\), графики с противоположными множителями симметричны относительно этой оси.
1) \(y = x^3 - 1\). Здесь \(n = -1\): кубическая парабола переносится на 1 единицу вниз. Центр симметрии — точка \((0;\ -1)\), график проходит через точки \((-2;\ -9)\), \((-1;\ -2)\), \((0;\ -1)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 7)\); нуль функции \(x = 1\).
2) \(y = x^3 + 2\). Здесь \(n = 2\): кубическая парабола переносится на 2 единицы вверх. Центр симметрии — точка \((0;\ 2)\), график проходит через точки \((-2;\ -6)\), \((-1;\ 1)\), \((0;\ 2)\), \((1;\ 3)\), \((2;\ 10)\).
3) \(y = (x + 3)^3\), то есть \(y = (x - (-3))^3\). Здесь \(m = -3\): кубическая парабола переносится на 3 единицы влево. Центр симметрии — точка \((-3;\ 0)\), график проходит через точки \((-5;\ -8)\), \((-4;\ -1)\), \((-3;\ 0)\), \((-2;\ 1)\), \((-1;\ 8)\); нуль функции \(x = -3\).
4) \(y = (x - 3)^3\). Здесь \(m = 3\): кубическая парабола переносится на 3 единицы вправо. Центр симметрии — точка \((3;\ 0)\), график проходит через точки \((1;\ -8)\), \((2;\ -1)\), \((3;\ 0)\), \((4;\ 1)\), \((5;\ 8)\); нуль функции \(x = 3\).
5) \(y = 2x^3\). Каждая ордината кубической параболы умножается на 2. График проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ -6{,}75)\), \((-1;\ -2)\), \((1;\ 2)\), \((1{,}5;\ 6{,}75)\); функция возрастает.
6) \(y = 3x^3\). Каждая ордината кубической параболы умножается на 3. График проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ -10{,}125)\), \((-1;\ -3)\), \((1;\ 3)\), \((1{,}5;\ 10{,}125)\); функция возрастает.
7) \(y = -2x^3\). Ординаты кубической параболы умножаются на \(-2\), поэтому график симметричен графику функции \(y = 2x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ 6{,}75)\), \((-1;\ 2)\), \((1;\ -2)\), \((1{,}5;\ -6{,}75)\); функция убывает.
8) \(y = -3x^3\). Ординаты кубической параболы умножаются на \(-3\), поэтому график симметричен графику функции \(y = 3x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-1{,}5;\ 10{,}125)\), \((-1;\ 3)\), \((1;\ -3)\), \((1{,}5;\ -10{,}125)\); функция убывает.
9) \(y = \frac{1}{3}x^3\). Каждая ордината кубической параболы уменьшается в 3 раза. График проходит через начало координат и через точки \((-3;\ -9)\), \((-1{,}5;\ -1{,}125)\), \((1{,}5;\ 1{,}125)\), \((3;\ 9)\); функция возрастает.
10) \(y = \frac{1}{2}x^3\). Каждая ордината кубической параболы уменьшается в 2 раза. График проходит через начало координат и через точки \((-2;\ -4)\), \((-1;\ -0{,}5)\), \((1;\ 0{,}5)\), \((2;\ 4)\); функция возрастает.
11) \(y = -\frac{1}{3}x^3\). Ординаты кубической параболы умножаются на \(-\frac{1}{3}\), поэтому график симметричен графику функции \(y = \frac{1}{3}x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-3;\ 9)\), \((-1{,}5;\ 1{,}125)\), \((1{,}5;\ -1{,}125)\), \((3;\ -9)\); функция убывает.
12) \(y = -\frac{1}{2}x^3\). Ординаты кубической параболы умножаются на \(-\frac{1}{2}\), поэтому график симметричен графику функции \(y = \frac{1}{2}x^3\) относительно оси \(x\). Он проходит через начало координат и через точки \((-2;\ 4)\), \((-1;\ 0{,}5)\), \((1;\ -0{,}5)\), \((2;\ -4)\); функция убывает.
13) \(y = (x - 5)^3 - 1\). Здесь \(m = 5\) и \(n = -1\): кубическая парабола переносится на 5 единиц вправо и на 1 единицу вниз. Центр симметрии — точка \((5;\ -1)\), график проходит через точки \((3;\ -9)\), \((4;\ -2)\), \((5;\ -1)\), \((6;\ 0)\), \((7;\ 7)\); нуль функции \(x = 6\).
14) \(y = (x + 4)^3 + 1\). Здесь \(m = -4\) и \(n = 1\): кубическая парабола переносится на 4 единицы влево и на 1 единицу вверх. Центр симметрии — точка \((-4;\ 1)\), график проходит через точки \((-6;\ -7)\), \((-5;\ 0)\), \((-4;\ 1)\), \((-3;\ 2)\), \((-2;\ 9)\); нуль функции \(x = -5\).
15) \(y = -(x + 2)^3 - 3\). График функции \(y = -x^3\) симметричен кубической параболе относительно оси \(x\); его переносят на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Центр симметрии — точка \((-2;\ -3)\), график проходит через точки \((-4;\ 5)\), \((-3;\ -2)\), \((-2;\ -3)\), \((-1;\ -4)\), \((0;\ -11)\); функция убывает.
16) \(y = -(x - 2)^3 + 3\). График функции \(y = -x^3\) переносят на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Центр симметрии — точка \((2;\ 3)\), график проходит через точки \((0;\ 11)\), \((1;\ 4)\), \((2;\ 3)\), \((3;\ 2)\), \((4;\ -5)\); функция убывает.
