Страница 136 номер 5.3.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Построить график функции.

По определению модуля \(|x| = x\) при \(x \geqslant 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\), поэтому график функции \(y = |x|\) состоит из луча \(y = x\) при \(x \geqslant 0\) и луча \(y = -x\) при \(x < 0\), то есть представляет собой уголок с вершиной в начале координат. График функции \(y = f(x) + n\) получается из графика функции \(y = f(x)\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх при \(n > 0\) и на \(-n\) единиц вниз при \(n < 0\), а график функции \(y = f(x - m)\) — переносом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо при \(m > 0\) и на \(-m\) единиц влево при \(m < 0\).

1) \(y = |x| + 2\).

График функции \(y = |x|\) переносится вдоль оси \(y\) на 2 единицы вверх. Вершина уголка — точка \((0;\ 2)\), лучи проходят через точки \((3;\ 5)\) и \((-3;\ 5)\). Наименьшее значение функции равно 2, поэтому нулей у неё нет.

2) \(y = |x| - 2\).

График функции \(y = |x|\) переносится вдоль оси \(y\) на 2 единицы вниз. Вершина уголка — точка \((0;\ -2)\), лучи проходят через точки \((4;\ 2)\) и \((-4;\ 2)\). Нули функции: \(|x| - 2 = 0\), \(|x| = 2\), откуда \(x = -2\) или \(x = 2\).

3) \(y = -|x| - 1\).

Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\) и \(y = -x - 1\), при \(x < 0\) имеем \(|x| = -x\) и \(y = x - 1\). Значит, \[y = \begin{cases} -x - 1, & \text{если } x \geqslant 0, \\ x - 1, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]

График — уголок ветвями вниз с вершиной в точке \((0;\ -1)\); лучи проходят через точки \((4;\ -5)\) и \((-4;\ -5)\). Наибольшее значение функции равно \(-1\), поэтому нулей у неё нет.

4) \(y = -|x| + 3\).

Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -x + 3\), при \(x < 0\) получаем \(y = x + 3\). Значит, \[y = \begin{cases} -x + 3, & \text{если } x \geqslant 0, \\ x + 3, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]

График — уголок ветвями вниз с вершиной в точке \((0;\ 3)\); лучи проходят через точки \((5;\ -2)\) и \((-5;\ -2)\). Нули функции: \(-|x| + 3 = 0\), \(|x| = 3\), откуда \(x = -3\) или \(x = 3\).

5) \(y = 2|x| + 3\).

Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = 2x + 3\), при \(x < 0\) получаем \(y = -2x + 3\). Значит, \[y = \begin{cases} 2x + 3, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -2x + 3, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]

График — два луча с общим началом в точке \((0;\ 3)\): правый идёт через точку \((2;\ 7)\), левый — через точку \((-2;\ 7)\). Наименьшее значение функции равно 3, поэтому нулей у неё нет.

6) \(y = 3|x| - 1\).

Раскроем модуль: при \(x \geqslant 0\) получаем \(y = 3x - 1\), при \(x < 0\) получаем \(y = -3x - 1\). Значит, \[y = \begin{cases} 3x - 1, & \text{если } x \geqslant 0, \\ -3x - 1, & \text{если } x < 0. \end{cases}\]

График — два луча с общим началом в точке \((0;\ -1)\): правый идёт через точку \((2;\ 5)\), левый — через точку \((-2;\ 5)\). Нули функции: \(3|x| - 1 = 0\), \(|x| = \frac{1}{3}\), откуда \(x = -\frac{1}{3}\) или \(x = \frac{1}{3}\).

7) \(y = |x - 4|\).

График функции \(y = |x|\) переносится вдоль оси \(x\) на 4 единицы вправо. Вершина уголка — точка \((4;\ 0)\); лучи проходят через точки \((7;\ 3)\) и \((0;\ 4)\). Нуль функции: \(x = 4\).

8) \(y = |x + 4|\).

График функции \(y = |x|\) переносится вдоль оси \(x\) на 4 единицы влево. Вершина уголка — точка \((-4;\ 0)\); лучи проходят через точки \((0;\ 4)\) и \((-8;\ 4)\). Нуль функции: \(x = -4\).

9) \(y = |x + 2| - 5\).

График функции \(y = |x|\) переносится на 2 единицы влево и на 5 единиц вниз. Вершина уголка — точка \((-2;\ -5)\). Нули функции: \(|x + 2| = 5\), откуда \(x + 2 = 5\) или \(x + 2 = -5\), то есть \(x = 3\) или \(x = -7\).

10) \(y = |x - 3| - 3\).

График функции \(y = |x|\) переносится на 3 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Вершина уголка — точка \((3;\ -3)\). Нули функции: \(|x - 3| = 3\), откуда \(x - 3 = 3\) или \(x - 3 = -3\), то есть \(x = 6\) или \(x = 0\).

11) \(y = -|3 - x|\).

Числа \(3 - x\) и \(x - 3\) противоположны, а модули противоположных чисел равны, поэтому \(|3 - x| = |x - 3|\) и функция задаётся формулой \(y = -|x - 3|\). Раскроем модуль: при \(x \geqslant 3\) получаем \(y = -(x - 3) = 3 - x\), при \(x < 3\) получаем \(y = -(3 - x) = x - 3\). Значит, \[y = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \geqslant 3, \\ x - 3, & \text{если } x < 3. \end{cases}\]

График — уголок ветвями вниз с вершиной в точке \((3;\ 0)\); лучи проходят через точки \((7;\ -4)\) и \((-1;\ -4)\). Нуль функции: \(x = 3\).

12) \(y = -|5 - x|\).

Точно так же \(|5 - x| = |x - 5|\), поэтому функция задаётся формулой \(y = -|x - 5|\). При \(x \geqslant 5\) получаем \(y = -(x - 5) = 5 - x\), при \(x < 5\) получаем \(y = -(5 - x) = x - 5\). Значит, \[y = \begin{cases} 5 - x, & \text{если } x \geqslant 5, \\ x - 5, & \text{если } x < 5. \end{cases}\]

График — уголок ветвями вниз с вершиной в точке \((5;\ 0)\); лучи проходят через точки \((10;\ -5)\) и \((0;\ -5)\). Нуль функции: \(x = 5\).