Страницы 135-136 номер 5.3.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
График функции \(y = f(x) + n\) получается из графика функции \(y = f(x)\) переносом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх при \(n > 0\) и на \(-n\) единиц вниз при \(n < 0\); график функции \(y = f(x - m)\) — переносом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо при \(m > 0\) и на \(-m\) единиц влево при \(m < 0\); график функции \(y = f(x - m) + n\) — двумя такими переносами в любом порядке.
На каждом чертеже исходный график проведён пунктирной линией, а полученный из него переносом — сплошной.
1) \(y = \sqrt{x - 4}\). Здесь \(f(x) = \sqrt{x}\), \(m = 4\): перенос вдоль оси \(x\) на 4 единицы вправо. Выражение имеет смысл при \(x - 4 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 4\); начало ветви — \((4;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((5;\ 1)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((8;\ 2)\).
2) \(y = \sqrt{x + 3}\). Здесь \(m = -3\): перенос вдоль оси \(x\) на 3 единицы влево. Выражение имеет смысл при \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -3\); начало ветви — \((-3;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((-2;\ 1)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((1;\ 2)\).
3) \(y = \sqrt{x} + 3\). Здесь \(n = 3\): перенос вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх. Область определения не меняется: \(x \geqslant 0\). Точка \((0;\ 0)\) переходит в \((0;\ 3)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((1;\ 4)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((4;\ 5)\).
4) \(y = \sqrt{x} - 2\). Здесь \(n = -2\): перенос вдоль оси \(y\) на 2 единицы вниз. Область определения та же: \(x \geqslant 0\). Точка \((0;\ 0)\) переходит в \((0;\ -2)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((1;\ -1)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((4;\ 0)\).
5) \(y = \sqrt{x - 1} + 2\). Здесь \(m = 1\) и \(n = 2\): перенос на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Область определения: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\); начало ветви — \((1;\ 2)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((2;\ 3)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((5;\ 4)\).
6) \(y = \sqrt{x + 5} - 3\). Здесь \(m = -5\) и \(n = -3\): перенос на 5 единиц влево и на 3 единицы вниз. Область определения: \(x + 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -5\); начало ветви — \((-5;\ -3)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((-4;\ -2)\), точка \((4;\ 2)\) — в \((-1;\ -1)\), точка \((9;\ 3)\) — в \((4;\ 0)\).
7) \(y = \dfrac{1}{x + 3}\). Здесь \(f(x) = \frac{1}{x}\), \(m = -3\): гипербола переносится вдоль оси \(x\) на 3 единицы влево. Вместе с гиперболой сдвигается и её вертикальная асимптота: ось \(y\) переходит в прямую \(x = -3\), а ось \(x\) остаётся асимптотой. Область определения: \(x \ne -3\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((-2;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-4;\ -1)\).
8) \(y = \dfrac{1}{x - 2}\). Здесь \(m = 2\): гипербола переносится вдоль оси \(x\) на 2 единицы вправо. Ось \(y\) переходит в асимптоту \(x = 2\), ось \(x\) остаётся асимптотой. Область определения: \(x \ne 2\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((3;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((1;\ -1)\).
9) \(y = \dfrac{1}{x} - 5\). Здесь \(n = -5\): гипербола переносится вдоль оси \(y\) на 5 единиц вниз. Ось \(y\) остаётся асимптотой, а ось \(x\) переходит в асимптоту \(y = -5\). Область определения: \(x \ne 0\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((1;\ -4)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-1;\ -6)\).
10) \(y = \dfrac{1}{x} + 3\). Здесь \(n = 3\): гипербола переносится вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх. Ось \(y\) остаётся асимптотой, ось \(x\) переходит в асимптоту \(y = 3\). Область определения: \(x \ne 0\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((1;\ 4)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-1;\ 2)\).
11) \(y = \dfrac{1}{x - 3} + 1\). Здесь \(m = 3\) и \(n = 1\): гипербола переносится на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптотами становятся прямые \(x = 3\) и \(y = 1\). Область определения: \(x \ne 3\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((4;\ 2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((2;\ 0)\).
12) \(y = \dfrac{1}{x + 2} - 3\). Здесь \(m = -2\) и \(n = -3\): гипербола переносится на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Асимптотами становятся прямые \(x = -2\) и \(y = -3\). Область определения: \(x \ne -2\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((-1;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-3;\ -4)\).
13) \(y = (x - 1)^3\). Здесь \(f(x) = x^3\), \(m = 1\): кубическая парабола переносится вдоль оси \(x\) на 1 единицу вправо. Начало координат — центр симметрии графика \(y = x^3\) — переходит в \((1;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в \((2;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((0;\ -1)\).
14) \(y = (x + 1)^3\). Здесь \(m = -1\): кубическая парабола переносится вдоль оси \(x\) на 1 единицу влево. Начало координат переходит в \((-1;\ 0)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((0;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-2;\ -1)\).
15) \(y = x^3 + 2\). Здесь \(n = 2\): кубическая парабола переносится вдоль оси \(y\) на 2 единицы вверх. Начало координат переходит в \((0;\ 2)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((1;\ 3)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-1;\ 1)\).
16) \(y = x^3 - 3\). Здесь \(n = -3\): кубическая парабола переносится вдоль оси \(y\) на 3 единицы вниз. Начало координат переходит в \((0;\ -3)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((1;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((-1;\ -4)\).
17) \(y = (x - 3)^3 + 2\). Здесь \(m = 3\) и \(n = 2\): кубическая парабола переносится на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начало координат переходит в \((3;\ 2)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((4;\ 3)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((2;\ 1)\).
18) \(y = (x - 2)^3 - 3\). Здесь \(m = 2\) и \(n = -3\): кубическая парабола переносится на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Начало координат переходит в \((2;\ -3)\), точка \((1;\ 1)\) — в \((3;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в \((1;\ -4)\).
График функции \(y = f(x) + n\) получается из графика функции \(y = f(x)\) параллельным переносом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх при \(n > 0\) и на \(-n\) единиц вниз при \(n < 0\). График функции \(y = f(x - m)\) получается из графика функции \(y = f(x)\) параллельным переносом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо при \(m > 0\) и на \(-m\) единиц влево при \(m < 0\). График функции \(y = f(x - m) + n\) получается двумя такими переносами, и порядок переносов безразличен.
На каждом чертеже исходный график проведён пунктирной линией, а полученный из него переносом — сплошной.
1) \(y = \sqrt{x - 4}\).
Здесь \(f(x) = \sqrt{x}\), \(m = 4\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится вдоль оси \(x\) на 4 единицы вправо. Выражение \(\sqrt{x - 4}\) имеет смысл при \(x - 4 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 4\), и начало ветви — точка \((4;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) исходного графика переходит в точку \((5;\ 1)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((8;\ 2)\).
2) \(y = \sqrt{x + 3}\).
Здесь \(m = -3\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится вдоль оси \(x\) на 3 единицы влево. Выражение имеет смысл при \(x + 3 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -3\), и начало ветви — точка \((-3;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((-2;\ 1)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((1;\ 2)\).
3) \(y = \sqrt{x} + 3\).
Здесь \(n = 3\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх. Область определения не меняется: \(x \geqslant 0\). Точка \((0;\ 0)\) переходит в точку \((0;\ 3)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((1;\ 4)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((4;\ 5)\).
4) \(y = \sqrt{x} - 2\).
Здесь \(n = -2\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится вдоль оси \(y\) на 2 единицы вниз. Область определения та же: \(x \geqslant 0\). Точка \((0;\ 0)\) переходит в точку \((0;\ -2)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((1;\ -1)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((4;\ 0)\).
5) \(y = \sqrt{x - 1} + 2\).
Здесь \(m = 1\) и \(n = 2\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Область определения: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\); начало ветви — точка \((1;\ 2)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((2;\ 3)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((5;\ 4)\).
6) \(y = \sqrt{x + 5} - 3\).
Здесь \(m = -5\) и \(n = -3\): график функции \(y = \sqrt{x}\) переносится на 5 единиц влево и на 3 единицы вниз. Область определения: \(x + 5 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -5\); начало ветви — точка \((-5;\ -3)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((-4;\ -2)\), точка \((4;\ 2)\) — в точку \((-1;\ -1)\), точка \((9;\ 3)\) — в точку \((4;\ 0)\).
7) \(y = \dfrac{1}{x + 3}\).
Здесь \(f(x) = \frac{1}{x}\), \(m = -3\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится вдоль оси \(x\) на 3 единицы влево. Вместе с гиперболой сдвигается и её вертикальная асимптота: ось \(y\) переходит в прямую \(x = -3\), а ось \(x\) остаётся асимптотой. Область определения: \(x \ne -3\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((-2;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-4;\ -1)\).
8) \(y = \dfrac{1}{x - 2}\).
Здесь \(m = 2\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится вдоль оси \(x\) на 2 единицы вправо. Ось \(y\) переходит в асимптоту \(x = 2\), ось \(x\) остаётся асимптотой. Область определения: \(x \ne 2\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((3;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((1;\ -1)\).
9) \(y = \dfrac{1}{x} - 5\).
Здесь \(n = -5\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится вдоль оси \(y\) на 5 единиц вниз. Ось \(y\) остаётся асимптотой, а ось \(x\) переходит в асимптоту \(y = -5\). Область определения: \(x \ne 0\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((1;\ -4)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-1;\ -6)\).
10) \(y = \dfrac{1}{x} + 3\).
Здесь \(n = 3\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится вдоль оси \(y\) на 3 единицы вверх. Ось \(y\) остаётся асимптотой, ось \(x\) переходит в асимптоту \(y = 3\). Область определения: \(x \ne 0\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((1;\ 4)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-1;\ 2)\).
11) \(y = \dfrac{1}{x - 3} + 1\).
Здесь \(m = 3\) и \(n = 1\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптотами становятся прямые \(x = 3\) и \(y = 1\). Область определения: \(x \ne 3\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((4;\ 2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((2;\ 0)\).
12) \(y = \dfrac{1}{x + 2} - 3\).
Здесь \(m = -2\) и \(n = -3\): гипербола \(y = \frac{1}{x}\) переносится на 2 единицы влево и на 3 единицы вниз. Асимптотами становятся прямые \(x = -2\) и \(y = -3\). Область определения: \(x \ne -2\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((-1;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-3;\ -4)\).
13) \(y = (x - 1)^3\).
Здесь \(f(x) = x^3\), \(m = 1\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится вдоль оси \(x\) на 1 единицу вправо. Начало координат — центр симметрии графика \(y = x^3\) — переходит в точку \((1;\ 0)\). Точка \((1;\ 1)\) переходит в точку \((2;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((0;\ -1)\).
14) \(y = (x + 1)^3\).
Здесь \(m = -1\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится вдоль оси \(x\) на 1 единицу влево. Начало координат переходит в точку \((-1;\ 0)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((0;\ 1)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-2;\ -1)\).
15) \(y = x^3 + 2\).
Здесь \(n = 2\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится вдоль оси \(y\) на 2 единицы вверх. Начало координат переходит в точку \((0;\ 2)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((1;\ 3)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-1;\ 1)\).
16) \(y = x^3 - 3\).
Здесь \(n = -3\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится вдоль оси \(y\) на 3 единицы вниз. Начало координат переходит в точку \((0;\ -3)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((1;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((-1;\ -4)\).
17) \(y = (x - 3)^3 + 2\).
Здесь \(m = 3\) и \(n = 2\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начало координат переходит в точку \((3;\ 2)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((4;\ 3)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((2;\ 1)\).
18) \(y = (x - 2)^3 - 3\).
Здесь \(m = 2\) и \(n = -3\): кубическая парабола \(y = x^3\) переносится на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Начало координат переходит в точку \((2;\ -3)\), точка \((1;\ 1)\) — в точку \((3;\ -2)\), точка \((-1;\ -1)\) — в точку \((1;\ -4)\).
