7класс

Страница 135 номер 5.3.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

§5. Функции. 5.3. Степенная функция. Свойства функций. Страница 135. Номер 5.3.29

Решение:

Область определения — все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл: знаменатель дроби не обращается в нуль, подкоренное выражение арифметического квадратного корня неотрицательно.

1) Нужно, чтобы \(5x^2 + 24x - 5 \ne 0\). Корни уравнения \(5x^2 + 24x - 5 = 0\): \(D = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676\), \(\sqrt{D} = 26\), откуда \(x_1 = \frac{-24 - 26}{10} = -5\) и \(x_2 = \frac{-24 + 26}{10} = 0{,}2\). Область определения: \(x \ne -5\), \(x \ne 0{,}2\).

2) Нужно, чтобы \(-4x^2 + 5x + 6 \ne 0\), то есть \(4x^2 - 5x - 6 \ne 0\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), откуда \(x_1 = \frac{5 - 11}{8} = -0{,}75\) и \(x_2 = \frac{5 + 11}{8} = 2\). Область определения: \(x \ne -0{,}75\), \(x \ne 2\).

3) Нужно, чтобы \(x^2 - 7x + 10 \geqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 10 = 9\), \(x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен вне промежутка между нулями. Область определения: \(x \leqslant 2\), \(x \geqslant 5\).

4) Нужно, чтобы \(x^2 - 5x - 14 \geqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\), \(x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен вне промежутка между нулями. Область определения: \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 7\).

5) Нужно, чтобы \(-2x^2 + 11x - 12 \geqslant 0\); умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства: \(2x^2 - 11x + 12 \leqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25\), \(x_1 = \frac{11 - 5}{4} = 1{,}5\), \(x_2 = \frac{11 + 5}{4} = 4\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между нулями. Область определения: \(1{,}5 \leqslant x \leqslant 4\).

6) Нужно, чтобы \(-3x^2 + 14x - 15 \geqslant 0\), то есть \(3x^2 - 14x + 15 \leqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 196 - 180 = 16\), \(x_1 = \frac{14 - 4}{6} = 1\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{14 + 4}{6} = 3\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между нулями. Область определения: \(1\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant 3\).

7) Нужно, чтобы \(\frac{7}{x - 4} \geqslant 0\) и \(x - 4 \ne 0\). Числитель положителен, поэтому дробь положительна только при \(x - 4 > 0\). Область определения: \(x > 4\).

8) Нужно, чтобы \(\frac{23}{5 - x} \geqslant 0\) и \(5 - x \ne 0\). Числитель положителен, поэтому дробь положительна только при \(5 - x > 0\). Область определения: \(x < 5\).

9) Числитель положителен, поэтому нужно, чтобы \((2 - x)(x + 10) > 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(-x^2 - 8x + 20\) со старшим коэффициентом \(-1\); его нули — числа \(-10\) и 2, а ветви параболы направлены вниз, поэтому трёхчлен положителен между нулями. Область определения: \(-10 < x < 2\).

10) Числитель положителен, поэтому нужно, чтобы \((2x - 7)(x + 4) > 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(2x^2 + x - 28\) со старшим коэффициентом 2; его нули — числа \(-4\) и \(3{,}5\), а ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне промежутка между нулями. Область определения: \(x < -4\), \(x > 3{,}5\).

11) Нужно, чтобы \(\frac{x - 5}{x + 2} \geqslant 0\) при \(x \ne -2\). Умножим обе части на положительное число \((x + 2)^2\): \((x - 5)(x + 2) \geqslant 0\), то есть \(x^2 - 3x - 10 \geqslant 0\); нули трёхчлена \(-2\) и 5, ветви параболы направлены вверх, поэтому он неотрицателен при \(x \leqslant -2\) и при \(x \geqslant 5\). Значение \(x = -2\) исключено. Область определения: \(x < -2\), \(x \geqslant 5\).

12) Нужно, чтобы \(\frac{x + 7}{x - 3} \geqslant 0\) при \(x \ne 3\). Умножим обе части на положительное число \((x - 3)^2\): \((x + 7)(x - 3) \geqslant 0\), то есть \(x^2 + 4x - 21 \geqslant 0\); нули трёхчлена \(-7\) и 3, ветви параболы направлены вверх, поэтому он неотрицателен при \(x \leqslant -7\) и при \(x \geqslant 3\). Значение \(x = 3\) исключено. Область определения: \(x \leqslant -7\), \(x > 3\).

13) Нужно, чтобы \(\frac{3 - 4x}{x + 6} \geqslant 0\) при \(x \ne -6\). Умножим обе части на положительное число \((x + 6)^2\): \((3 - 4x)(x + 6) \geqslant 0\), то есть \(-4x^2 - 21x + 18 \geqslant 0\) со старшим коэффициентом \(-4\); нули трёхчлена \(-6\) и \(0{,}75\), ветви параболы направлены вниз, поэтому он неотрицателен между нулями. Значение \(x = -6\) исключено. Область определения: \(-6 < x \leqslant 0{,}75\).

14) Нужно, чтобы \(\frac{x + 8}{5 - 2x} \geqslant 0\) при \(x \ne 2{,}5\). Умножим обе части на положительное число \((5 - 2x)^2\): \((x + 8)(5 - 2x) \geqslant 0\), то есть \(-2x^2 - 11x + 40 \geqslant 0\) со старшим коэффициентом \(-2\); нули трёхчлена \(-8\) и \(2{,}5\), ветви параболы направлены вниз, поэтому он неотрицателен между нулями. Значение \(x = 2{,}5\) исключено. Область определения: \(-8 \leqslant x < 2{,}5\).

15) Нужно, чтобы \(|x| - 4 \ne 0\), то есть \(|x| \ne 4\); модуль числа равен 4 при \(x = -4\) и при \(x = 4\). Область определения: \(x \ne \pm 4\).

16) Нужно, чтобы \(3 - |x| \ne 0\), то есть \(|x| \ne 3\); модуль числа равен 3 при \(x = -3\) и при \(x = 3\). Область определения: \(x \ne \pm 3\).

Ответ: 1) \(x \ne -5\), \(x \ne 0{,}2\); 2) \(x \ne -0{,}75\), \(x \ne 2\); 3) \(x \leqslant 2\), \(x \geqslant 5\); 4) \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 7\); 5) \(1{,}5 \leqslant x \leqslant 4\); 6) \(1\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant 3\); 7) \(x > 4\); 8) \(x < 5\); 9) \(-10 < x < 2\); 10) \(x < -4\), \(x > 3{,}5\); 11) \(x < -2\), \(x \geqslant 5\); 12) \(x \leqslant -7\), \(x > 3\); 13) \(-6 < x \leqslant 0{,}75\); 14) \(-8 \leqslant x < 2{,}5\); 15) \(x \ne \pm 4\); 16) \(x \ne \pm 3\).

Решение:

Область определения функции, заданной формулой, — все значения \(x\), при которых выражение имеет смысл: знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, а подкоренное выражение арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным.

1) \(y = -\frac{18}{5x^2 + 24x - 5}\). Нужно, чтобы \(5x^2 + 24x - 5 \ne 0\). Найдём корни уравнения \(5x^2 + 24x - 5 = 0\): \(D = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676\), \(\sqrt{D} = 26\), откуда \(x_1 = \frac{-24 - 26}{10} = -5\) и \(x_2 = \frac{-24 + 26}{10} = 0{,}2\). Область определения: \(x \ne -5\), \(x \ne 0{,}2\).

2) \(y = \frac{6x}{5x - 4x^2 + 6}\). Нужно, чтобы \(-4x^2 + 5x + 6 \ne 0\), то есть \(4x^2 - 5x - 6 \ne 0\). Найдём корни: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), откуда \(x_1 = \frac{5 - 11}{8} = -0{,}75\) и \(x_2 = \frac{5 + 11}{8} = 2\). Область определения: \(x \ne -0{,}75\), \(x \ne 2\).

3) \(y = \sqrt{x^2 - 7x + 10}\). Нужно, чтобы \(x^2 - 7x + 10 \geqslant 0\). Нули квадратного трёхчлена: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 10 = 9\), \(x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5\). Парабола \(y = x^2 - 7x + 10\) обращена ветвями вверх, поэтому она расположена не ниже оси \(x\) при \(x \leqslant 2\) и при \(x \geqslant 5\). Область определения: \(x \leqslant 2\), \(x \geqslant 5\).

4) \(y = \sqrt{x^2 - 5x - 14}\). Нужно, чтобы \(x^2 - 5x - 14 \geqslant 0\). Нули квадратного трёхчлена: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\), \(x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен вне промежутка между нулями. Область определения: \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 7\).

5) \(y = \sqrt{-2x^2 + 11x - 12}\). Нужно, чтобы \(-2x^2 + 11x - 12 \geqslant 0\). Умножим обе части на \(-1\), изменив знак неравенства: \(2x^2 - 11x + 12 \leqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25\), \(x_1 = \frac{11 - 5}{4} = 1{,}5\), \(x_2 = \frac{11 + 5}{4} = 4\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между нулями. Область определения: \(1{,}5 \leqslant x \leqslant 4\).

6) \(y = \sqrt{-3x^2 + 14x - 15}\). Нужно, чтобы \(-3x^2 + 14x - 15 \geqslant 0\), то есть \(3x^2 - 14x + 15 \leqslant 0\). Нули трёхчлена: \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 196 - 180 = 16\), \(x_1 = \frac{14 - 4}{6} = 1\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{14 + 4}{6} = 3\). Ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неположителен между нулями. Область определения: \(1\frac{2}{3} \leqslant x \leqslant 3\).

7) \(y = \sqrt{\frac{7}{x - 4}}\). Нужно, чтобы \(\frac{7}{x - 4} \geqslant 0\) и \(x - 4 \ne 0\). Числитель положителен, поэтому дробь положительна только при \(x - 4 > 0\). Область определения: \(x > 4\).

8) \(y = \sqrt{\frac{23}{5 - x}}\). Нужно, чтобы \(\frac{23}{5 - x} \geqslant 0\) и \(5 - x \ne 0\). Числитель положителен, поэтому дробь положительна только при \(5 - x > 0\). Область определения: \(x < 5\).

9) \(y = \sqrt{\frac{1}{(2 - x)(x + 10)}}\). Числитель положителен, поэтому нужно, чтобы \((2 - x)(x + 10) > 0\). Раскрыв скобки, получим квадратный трёхчлен \(-x^2 - 8x + 20\) со старшим коэффициентом \(-1\); его нули — числа \(-10\) и 2, а ветви параболы направлены вниз, поэтому трёхчлен положителен между нулями. Область определения: \(-10 < x < 2\).

10) \(y = \sqrt{\frac{5}{(2x - 7)(x + 4)}}\). Числитель положителен, поэтому нужно, чтобы \((2x - 7)(x + 4) > 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(2x^2 + x - 28\) со старшим коэффициентом 2; его нули — числа \(-4\) и \(3{,}5\), а ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен положителен вне промежутка между нулями. Область определения: \(x < -4\), \(x > 3{,}5\).

11) \(y = \sqrt{\frac{x - 5}{x + 2}}\). Нужно, чтобы \(\frac{x - 5}{x + 2} \geqslant 0\) при \(x \ne -2\). Умножим обе части неравенства на положительное число \((x + 2)^2\): \((x - 5)(x + 2) \geqslant 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(x^2 - 3x - 10\) с нулями \(-2\) и 5; ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен при \(x \leqslant -2\) и при \(x \geqslant 5\). Значение \(x = -2\) исключено. Область определения: \(x < -2\), \(x \geqslant 5\).

12) \(y = \sqrt{\frac{x + 7}{x - 3}}\). Нужно, чтобы \(\frac{x + 7}{x - 3} \geqslant 0\) при \(x \ne 3\). Умножим обе части на положительное число \((x - 3)^2\): \((x + 7)(x - 3) \geqslant 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(x^2 + 4x - 21\) с нулями \(-7\) и 3; ветви параболы направлены вверх, поэтому трёхчлен неотрицателен при \(x \leqslant -7\) и при \(x \geqslant 3\). Значение \(x = 3\) исключено. Область определения: \(x \leqslant -7\), \(x > 3\).

13) \(y = \sqrt{\frac{3 - 4x}{x + 6}}\). Нужно, чтобы \(\frac{3 - 4x}{x + 6} \geqslant 0\) при \(x \ne -6\). Умножим обе части на положительное число \((x + 6)^2\): \((3 - 4x)(x + 6) \geqslant 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(-4x^2 - 21x + 18\) со старшим коэффициентом \(-4\); его нули — числа \(-6\) и \(0{,}75\), а ветви параболы направлены вниз, поэтому трёхчлен неотрицателен между нулями. Значение \(x = -6\) исключено. Область определения: \(-6 < x \leqslant 0{,}75\).

14) \(y = \sqrt{\frac{x + 8}{5 - 2x}}\). Нужно, чтобы \(\frac{x + 8}{5 - 2x} \geqslant 0\) при \(x \ne 2{,}5\). Умножим обе части на положительное число \((5 - 2x)^2\): \((x + 8)(5 - 2x) \geqslant 0\). Раскрыв скобки, получим трёхчлен \(-2x^2 - 11x + 40\) со старшим коэффициентом \(-2\); его нули — числа \(-8\) и \(2{,}5\), а ветви параболы направлены вниз, поэтому трёхчлен неотрицателен между нулями. Значение \(x = 2{,}5\) исключено. Область определения: \(-8 \leqslant x < 2{,}5\).

15) \(y = \frac{2x - 1}{|x| - 4}\). Нужно, чтобы \(|x| - 4 \ne 0\), то есть \(|x| \ne 4\). Модуль числа равен 4 при \(x = -4\) и при \(x = 4\). Область определения: \(x \ne \pm 4\).

16) \(y = \frac{5 - 6x}{3 - |x|}\). Нужно, чтобы \(3 - |x| \ne 0\), то есть \(|x| \ne 3\). Модуль числа равен 3 при \(x = -3\) и при \(x = 3\). Область определения: \(x \ne \pm 3\).