Страница 135 номер 5.3.28, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Функция чётна, если её область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x) = f(x)\) при любом \(x\) из этой области; нечётна — если \(f(-x) = -f(x)\). Если хотя бы при одном значении аргумента не выполняется ни то ни другое равенство, функция не является ни чётной, ни нечётной.
У функций пунктов 1)—10), 15) и 16) выражение имеет смысл при любом \(x\), поэтому их область определения — множество всех чисел, и она симметрична относительно нуля.
1) \(f(-x) = (-x)^2 + (-x) + 12 = x^2 - x + 12\). При \(x = 1\): \(f(1) = 1 + 1 + 12 = 14\), \(f(-1) = 1 - 1 + 12 = 12\), \(-f(1) = -14\); ни равенство \(f(-1) = f(1)\), ни равенство \(f(-1) = -f(1)\) не выполняется — функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) \(f(-x) = 3 \cdot (-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 3x^4 - x^2 + 1 = f(x)\). Функция чётная.
3) \(g(-x) = -2 \cdot (-x)^3 + (-x)^5 = 2x^3 - x^5 = -(-2x^3 + x^5) = -g(x)\). Функция нечётная.
4) \(g(-x) = 5 \cdot (-x)^5 - (-x)^3 - 1 = -5x^5 + x^3 - 1\). При \(x = 1\): \(g(1) = 5 - 1 - 1 = 3\), \(g(-1) = -5 + 1 - 1 = -5\), \(-g(1) = -3\) — функция не является ни чётной, ни нечётной.
5) \(f(-x) = (-x)^2 + |-x| + 1 = x^2 + |x| + 1 = f(x)\). Функция чётная.
6) \(f(-x) = 2 \cdot (-x)^2 - 3|-x| + 2 = 2x^2 - 3|x| + 2 = f(x)\). Функция чётная.
7) \(u(-x) = 2 \cdot (-x)^3 - (-x)|-x| = -2x^3 + x|x| = -\left(2x^3 - x|x|\right) = -u(x)\). Функция нечётная.
8) \(u(-x) = -(-x)^3 + (-x)|-x| = x^3 - x|x| = -\left(-x^3 + x|x|\right) = -u(x)\). Функция нечётная.
9) \(g(-x) = (-x)^3 + (-x)|-x| + 3 = -x^3 - x|x| + 3\). При \(x = 1\): \(g(1) = 1 + 1 + 3 = 5\), \(g(-1) = -1 - 1 + 3 = 1\), \(-g(1) = -5\) — функция не является ни чётной, ни нечётной.
10) \(g(-x) = 2 \cdot (-x)^3 - (-x)|-x| - 1 = -2x^3 + x|x| - 1\). При \(x = 1\): \(g(1) = 2 - 1 - 1 = 0\), \(g(-1) = -2 + 1 - 1 = -2\), \(-g(1) = 0\) — функция не является ни чётной, ни нечётной.
11) \(f(x) = \frac{1}{x} + 2x\). Область определения — все числа, кроме нуля, она симметрична относительно нуля. \(f(-x) = \frac{1}{-x} + 2 \cdot (-x) = -\frac{1}{x} - 2x = -\left(\frac{1}{x} + 2x\right) = -f(x)\). Функция нечётная.
12) \(f(x) = x^3 - \frac{3}{x}\). Область определения — все числа, кроме нуля, она симметрична относительно нуля. \(f(-x) = (-x)^3 - \frac{3}{-x} = -x^3 + \frac{3}{x} = -\left(x^3 - \frac{3}{x}\right) = -f(x)\). Функция нечётная.
13) \(f(x) = \frac{1}{7x^6 - x^4}\). Знаменатель \(7x^6 - x^4 = x^4\left(7x^2 - 1\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x^2 = \frac{1}{7}\), то есть при \(x = -\frac{\sqrt{7}}{7}\) и \(x = \frac{\sqrt{7}}{7}\); вместе с каждым исключённым числом исключено и противоположное ему, поэтому область определения симметрична относительно нуля. \(f(-x) = \frac{1}{7 \cdot (-x)^6 - (-x)^4} = \frac{1}{7x^6 - x^4} = f(x)\). Функция чётная.
14) \(f(x) = -\frac{7}{2x^3 - x^9}\). Знаменатель \(2x^3 - x^9 = x^3\left(2 - x^6\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x^6 = 2\); шестые степени противоположных чисел равны, поэтому вместе с каждым таким числом знаменатель обращается в нуль и при противоположном ему, и область определения симметрична относительно нуля. Далее
\[f(-x) = -\frac{7}{2 \cdot (-x)^3 - (-x)^9} = -\frac{7}{-2x^3 + x^9} = \frac{7}{2x^3 - x^9} = -f(x).\]
Функция нечётная.
15) \(v(x) = \sqrt[3]{x} - 3\). Кубический корень определён при любом числе; так как \(\left(-\sqrt[3]{x}\right)^3 = -x\), то \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\), и \(v(-x) = \sqrt[3]{-x} - 3 = -\sqrt[3]{x} - 3\). При \(x = 1\): \(v(1) = 1 - 3 = -2\), \(v(-1) = -1 - 3 = -4\), \(-v(1) = 2\) — функция не является ни чётной, ни нечётной.
16) \(v(-x) = -x - \sqrt[3]{-x} = -x + \sqrt[3]{x} = -\left(x - \sqrt[3]{x}\right) = -v(x)\). Функция нечётная.
Ответ: чётные функции — 2), 5), 6), 13); нечётные функции — 3), 7), 8), 11), 12), 14), 16); ни чётные, ни нечётные функции — 1), 4), 9), 10), 15).
Функция чётна, если её область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x) = f(x)\) при любом \(x\) из этой области; нечётна, если область определения симметрична относительно нуля и \(f(-x) = -f(x)\). Если хотя бы при одном значении аргумента не выполняется ни то ни другое равенство, функция не является ни чётной, ни нечётной.
У функций пунктов 1)—10), 15) и 16) выражение имеет смысл при любом \(x\), поэтому их область определения — множество всех чисел, и она симметрична относительно нуля.
1) \(f(x) = x^2 + x + 12\); \(f(-x) = (-x)^2 + (-x) + 12 = x^2 - x + 12\). При \(x = 1\) получаем \(f(1) = 1 + 1 + 12 = 14\) и \(f(-1) = 1 - 1 + 12 = 12\), а \(-f(1) = -14\). Ни равенство \(f(-1) = f(1)\), ни равенство \(f(-1) = -f(1)\) не выполняется, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
2) \(f(x) = 3x^4 - x^2 + 1\); \(f(-x) = 3 \cdot (-x)^4 - (-x)^2 + 1 = 3x^4 - x^2 + 1 = f(x)\). Функция чётная.
3) \(g(x) = -2x^3 + x^5\); \(g(-x) = -2 \cdot (-x)^3 + (-x)^5 = 2x^3 - x^5 = -(-2x^3 + x^5) = -g(x)\). Функция нечётная.
4) \(g(x) = 5x^5 - x^3 - 1\); \(g(-x) = 5 \cdot (-x)^5 - (-x)^3 - 1 = -5x^5 + x^3 - 1\). При \(x = 1\) получаем \(g(1) = 5 - 1 - 1 = 3\) и \(g(-1) = -5 + 1 - 1 = -5\), а \(-g(1) = -3\). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
5) \(f(x) = x^2 + |x| + 1\); \(f(-x) = (-x)^2 + |-x| + 1 = x^2 + |x| + 1 = f(x)\). Функция чётная.
6) \(f(x) = 2x^2 - 3|x| + 2\); \(f(-x) = 2 \cdot (-x)^2 - 3|-x| + 2 = 2x^2 - 3|x| + 2 = f(x)\). Функция чётная.
7) \(u(x) = 2x^3 - x|x|\); \(u(-x) = 2 \cdot (-x)^3 - (-x)|-x| = -2x^3 + x|x| = -\left(2x^3 - x|x|\right) = -u(x)\). Функция нечётная.
8) \(u(x) = -x^3 + x|x|\); \(u(-x) = -(-x)^3 + (-x)|-x| = x^3 - x|x| = -\left(-x^3 + x|x|\right) = -u(x)\). Функция нечётная.
9) \(g(x) = x^3 + x|x| + 3\); \(g(-x) = (-x)^3 + (-x)|-x| + 3 = -x^3 - x|x| + 3\). При \(x = 1\) получаем \(g(1) = 1 + 1 + 3 = 5\) и \(g(-1) = -1 - 1 + 3 = 1\), а \(-g(1) = -5\). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
10) \(g(x) = 2x^3 - x|x| - 1\); \(g(-x) = 2 \cdot (-x)^3 - (-x)|-x| - 1 = -2x^3 + x|x| - 1\). При \(x = 1\) получаем \(g(1) = 2 - 1 - 1 = 0\) и \(g(-1) = -2 + 1 - 1 = -2\), а \(-g(1) = 0\). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
11) \(f(x) = \frac{1}{x} + 2x\). Область определения — все числа, кроме нуля, она симметрична относительно нуля. Далее \(f(-x) = \frac{1}{-x} + 2 \cdot (-x) = -\frac{1}{x} - 2x = -\left(\frac{1}{x} + 2x\right) = -f(x)\). Функция нечётная.
12) \(f(x) = x^3 - \frac{3}{x}\). Область определения — все числа, кроме нуля, она симметрична относительно нуля. Далее \(f(-x) = (-x)^3 - \frac{3}{-x} = -x^3 + \frac{3}{x} = -\left(x^3 - \frac{3}{x}\right) = -f(x)\). Функция нечётная.
13) \(f(x) = \frac{1}{7x^6 - x^4}\). Знаменатель \(7x^6 - x^4 = x^4\left(7x^2 - 1\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x^2 = \frac{1}{7}\), то есть при \(x = -\frac{\sqrt{7}}{7}\) и \(x = \frac{\sqrt{7}}{7}\). Вместе с каждым исключённым числом исключено и противоположное ему, поэтому область определения симметрична относительно нуля. Далее \(f(-x) = \frac{1}{7 \cdot (-x)^6 - (-x)^4} = \frac{1}{7x^6 - x^4} = f(x)\). Функция чётная.
14) \(f(x) = -\frac{7}{2x^3 - x^9}\). Знаменатель \(2x^3 - x^9 = x^3\left(2 - x^6\right)\) обращается в нуль при \(x = 0\) и при \(x^6 = 2\); шестые степени противоположных чисел равны, поэтому вместе с каждым таким числом знаменатель обращается в нуль и при противоположном ему, и область определения симметрична относительно нуля. Далее
\[f(-x) = -\frac{7}{2 \cdot (-x)^3 - (-x)^9} = -\frac{7}{-2x^3 + x^9} = \frac{7}{2x^3 - x^9} = -f(x).\]
Функция нечётная.
15) \(v(x) = \sqrt[3]{x} - 3\). Кубический корень определён при любом числе. Так как \(\left(-\sqrt[3]{x}\right)^3 = -x\), то \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\), и потому \(v(-x) = \sqrt[3]{-x} - 3 = -\sqrt[3]{x} - 3\). При \(x = 1\) получаем \(v(1) = 1 - 3 = -2\) и \(v(-1) = -1 - 3 = -4\), а \(-v(1) = 2\). Функция не является ни чётной, ни нечётной.
16) \(v(x) = x - \sqrt[3]{x}\); \(v(-x) = -x - \sqrt[3]{-x} = -x + \sqrt[3]{x} = -\left(x - \sqrt[3]{x}\right) = -v(x)\). Функция нечётная.
Ответ: чётные функции — 2), 5), 6), 13); нечётные функции — 3), 7), 8), 11), 12), 14), 16); ни чётные, ни нечётные функции — 1), 4), 9), 10), 15).
