Страница 135 номер 5.3.27, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что нечётной является функция \(y = g(x)\), если: 1) \(g(x) = -x^5\); 2) \(g(x) = 8x^7\); 3) \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\); 4) \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\); 5) \(g(x) = -x|x|\); 6) \(g(x) = x^5|x|\).
Функция нечётна, если её область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\).
1) \(g(x) = -x^5\): выражение имеет смысл при любом \(x\), область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[g(-x) = -(-x)^5 = -(-x^5) = x^5 = -g(x).\]
Функция \(g(x) = -x^5\) нечётная.
2) \(g(x) = 8x^7\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[g(-x) = 8 \cdot (-x)^7 = -8x^7 = -g(x).\]
Функция \(g(x) = 8x^7\) нечётная.
3) \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\): знаменатель обращается в нуль только при \(x = 0\), поэтому область определения — все числа, кроме нуля, и она симметрична относительно нуля.
\[g(-x) = \frac{15}{(-x)^{13}} = \frac{15}{-x^{13}} = -\frac{15}{x^{13}} = -g(x).\]
Функция \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\) нечётная.
4) \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\): область определения — все числа, кроме нуля, симметрична относительно нуля.
\[g(-x) = -\frac{30}{(-x)^9} = -\frac{30}{-x^9} = \frac{30}{x^9} = -g(x).\]
Функция \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\) нечётная.
5) \(g(x) = -x|x|\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля; модули противоположных чисел равны, то есть \(|-x| = |x|\).
\[g(-x) = -(-x) \cdot |-x| = x|x| = -(-x|x|) = -g(x).\]
Функция \(g(x) = -x|x|\) нечётная.
6) \(g(x) = x^5|x|\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[g(-x) = (-x)^5 \cdot |-x| = -x^5|x| = -g(x).\]
Функция \(g(x) = x^5|x|\) нечётная.
Ответ: у каждой из шести функций область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\), поэтому каждая из этих функций нечётная.
Доказать, что нечётной является функция \(y = g(x)\), если: 1) \(g(x) = -x^5\); 2) \(g(x) = 8x^7\); 3) \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\); 4) \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\); 5) \(g(x) = -x|x|\); 6) \(g(x) = x^5|x|\).
Функция \(y = g(x)\) называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля (вместе с каждым числом \(x\) содержит и число \(-x\)) и при любом \(x\) из области определения выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\).
1) \(g(x) = -x^5\). Выражение \(-x^5\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому область определения — множество всех чисел, и она симметрична относительно нуля. Найдём \(g(-x)\):
\[g(-x) = -(-x)^5 = -(-x^5) = x^5 = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = -x^5\) нечётная.
2) \(g(x) = 8x^7\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Найдём \(g(-x)\):
\[g(-x) = 8 \cdot (-x)^7 = -8x^7 = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = 8x^7\) нечётная.
3) \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\). Знаменатель обращается в нуль только при \(x = 0\), поэтому область определения — все числа, кроме нуля; она симметрична относительно нуля. Найдём \(g(-x)\):
\[g(-x) = \frac{15}{(-x)^{13}} = \frac{15}{-x^{13}} = -\frac{15}{x^{13}} = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = \frac{15}{x^{13}}\) нечётная.
4) \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\). Область определения — все числа, кроме нуля, она симметрична относительно нуля. Найдём \(g(-x)\):
\[g(-x) = -\frac{30}{(-x)^9} = -\frac{30}{-x^9} = \frac{30}{x^9} = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = -\frac{30}{x^9}\) нечётная.
5) \(g(x) = -x|x|\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Модули противоположных чисел равны, то есть \(|-x| = |x|\), поэтому
\[g(-x) = -(-x) \cdot |-x| = x|x| = -(-x|x|) = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = -x|x|\) нечётная.
6) \(g(x) = x^5|x|\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Найдём \(g(-x)\):
\[g(-x) = (-x)^5 \cdot |-x| = -x^5|x| = -g(x).\]
Значит, функция \(g(x) = x^5|x|\) нечётная.
Ответ: у каждой из шести функций область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(g(-x) = -g(x)\), поэтому каждая из этих функций нечётная.
