Страница 134 номер 5.3.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что чётной является функция \(y = f(x)\), если: 1) \(f(x) = 5x^4\); 2) \(f(x) = -7x^6\); 3) \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\); 4) \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\); 5) \(f(x) = -|x|\); 6) \(f(x) = x^2|x|\).
Функция чётна, если её область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\).
1) \(f(x) = 5x^4\): выражение имеет смысл при любом \(x\), область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[f(-x) = 5 \cdot (-x)^4 = 5x^4 = f(x).\]
Функция \(f(x) = 5x^4\) чётная.
2) \(f(x) = -7x^6\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[f(-x) = -7 \cdot (-x)^6 = -7x^6 = f(x).\]
Функция \(f(x) = -7x^6\) чётная.
3) \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\): знаменатель обращается в нуль при \(x^2 = 3\), то есть при \(x = -\sqrt{3}\) и \(x = \sqrt{3}\); область определения — все числа, кроме этих двух, а они противоположны друг другу, поэтому она симметрична относительно нуля.
\[f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 3} = \frac{1}{x^2 - 3} = f(x).\]
Функция \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\) чётная.
4) \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\): при любом \(x\) верно \(x^4 + 1 \geqslant 1 > 0\), поэтому область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[f(-x) = \frac{1}{(-x)^4 + 1} = \frac{1}{x^4 + 1} = f(x).\]
Функция \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\) чётная.
5) \(f(x) = -|x|\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля; модули противоположных чисел равны, то есть \(|-x| = |x|\).
\[f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x).\]
Функция \(f(x) = -|x|\) чётная.
6) \(f(x) = x^2|x|\): область определения — множество всех чисел, симметрична относительно нуля.
\[f(-x) = (-x)^2 \cdot |-x| = x^2|x| = f(x).\]
Функция \(f(x) = x^2|x|\) чётная.
Ответ: у каждой из шести функций область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\), поэтому каждая из этих функций чётная.
Доказать, что чётной является функция \(y = f(x)\), если: 1) \(f(x) = 5x^4\); 2) \(f(x) = -7x^6\); 3) \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\); 4) \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\); 5) \(f(x) = -|x|\); 6) \(f(x) = x^2|x|\).
Функция \(y = f(x)\) называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля (вместе с каждым числом \(x\) содержит и число \(-x\)) и при любом \(x\) из области определения выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\).
1) \(f(x) = 5x^4\). Выражение \(5x^4\) имеет смысл при любом \(x\), поэтому область определения — множество всех чисел, и она симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[f(-x) = 5 \cdot (-x)^4 = 5x^4 = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = 5x^4\) чётная.
2) \(f(x) = -7x^6\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[f(-x) = -7 \cdot (-x)^6 = -7x^6 = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = -7x^6\) чётная.
3) \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\). Знаменатель обращается в нуль при \(x^2 = 3\), то есть при \(x = -\sqrt{3}\) и \(x = \sqrt{3}\). Область определения — все числа, кроме этих двух; исключённые числа противоположны друг другу, поэтому область определения симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 3} = \frac{1}{x^2 - 3} = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 3}\) чётная.
4) \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\). При любом \(x\) верно \(x^4 + 1 \geqslant 1 > 0\), поэтому область определения — множество всех чисел, и она симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[f(-x) = \frac{1}{(-x)^4 + 1} = \frac{1}{x^4 + 1} = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = \frac{1}{x^4 + 1}\) чётная.
5) \(f(x) = -|x|\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Модули противоположных чисел равны, то есть \(|-x| = |x|\), поэтому
\[f(-x) = -|-x| = -|x| = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = -|x|\) чётная.
6) \(f(x) = x^2|x|\). Область определения — множество всех чисел, она симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[f(-x) = (-x)^2 \cdot |-x| = x^2|x| = f(x).\]
Значит, функция \(f(x) = x^2|x|\) чётная.
Ответ: у каждой из шести функций область определения симметрична относительно нуля и при любом \(x\) из неё выполняется равенство \(f(-x) = f(x)\), поэтому каждая из этих функций чётная.
