Страница 134 номер 5.3.25, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Изобразить схематически график функции: 1) \(y = x^4\); 2) \(y = x^5\); 3) \(y = x^7\); 4) \(y = x^6\). Перечислить свойства функции.
Каждая из функций — степенная функция \(y = x^n\) с натуральным показателем, определена при любом \(x\); вид графика зависит от чётности показателя.
1) \(y = x^4\). Показатель чётный, при любом \(x\) верно \((-x)^4 = x^4\), поэтому график симметричен относительно оси \(y\). Он проходит через точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\); при \(0 < |x| < 1\) значения функции меньше, чем у параболы \(y = x^2\), и график теснее прижат к оси \(x\), а при \(|x| > 1\) он поднимается круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = [0;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x \ne 0\);
5) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\);
6) при \(x = 0\) принимает наименьшее значение, равное нулю; наибольшего значения нет;
7) функция чётная.
2) \(y = x^5\). Показатель нечётный, при любом \(x\) верно \((-x)^5 = -x^5\), поэтому график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\); вблизи начала координат почти сливается с осью \(x\), а при \(|x| > 1\) круто уходит вверх справа и вниз слева.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\);
5) возрастает на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\);
6) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
7) функция нечётная.
3) \(y = x^7\). Показатель нечётный, при любом \(x\) верно \((-x)^7 = -x^7\), поэтому график симметричен относительно начала координат и имеет тот же вид, что и график функции \(y = x^5\): проходит через точки \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), но вблизи начала координат прижат к оси \(x\) ещё теснее, а вне отрезка \([-1;\ 1]\) поднимается и опускается ещё круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\);
5) возрастает на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\);
6) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
7) функция нечётная.
4) \(y = x^6\). Показатель чётный, при любом \(x\) верно \((-x)^6 = x^6\), поэтому график симметричен относительно оси \(y\) и имеет тот же вид, что и график функции \(y = x^4\): проходит через точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), вблизи начала координат прижат к оси \(x\) ещё теснее, а вне отрезка \([-1;\ 1]\) поднимается ещё круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = [0;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x \ne 0\);
5) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\);
6) при \(x = 0\) принимает наименьшее значение, равное нулю; наибольшего значения нет;
7) функция чётная.
Ответ: графики функций \(y = x^4\) и \(y = x^6\) похожи на параболу \(y = x^2\) и симметричны относительно оси \(y\): обе функции определены на всей числовой прямой, принимают неотрицательные значения, убывают на \((-\infty;\ 0]\) и возрастают на \([0;\ +\infty)\), в точке \(x = 0\) принимают наименьшее значение, равное нулю, и являются чётными; графики функций \(y = x^5\) и \(y = x^7\) похожи на кубическую параболу и симметричны относительно начала координат: обе функции определены на всей числовой прямой, принимают все значения, возрастают на \((-\infty;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений не имеют и являются нечётными; у всех четырёх функций единственный нуль \(x = 0\).
Изобразить схематически график функции: 1) \(y = x^4\); 2) \(y = x^5\); 3) \(y = x^7\); 4) \(y = x^6\). Перечислить свойства функции.
Каждая из этих функций — степенная функция \(y = x^n\) с натуральным показателем; она определена при любом \(x\). Вид графика зависит от того, чётный показатель или нечётный.
1) \(y = x^4\). Показатель чётный, и при любом \(x\) верно равенство \((-x)^4 = x^4\): противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, поэтому график симметричен относительно оси \(y\). Он проходит через точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\); при \(0 < |x| < 1\) значения функции меньше, чем у параболы \(y = x^2\), и график теснее прижат к оси \(x\), а при \(|x| > 1\) он поднимается круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = [0;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x \ne 0\);
5) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\);
6) при \(x = 0\) принимает наименьшее значение, равное нулю; наибольшего значения нет;
7) функция чётная.
2) \(y = x^5\). Показатель нечётный, и при любом \(x\) верно равенство \((-x)^5 = -x^5\): противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции, поэтому график симметричен относительно начала координат. Он проходит через точки \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\); вблизи начала координат почти сливается с осью \(x\), а при \(|x| > 1\) круто уходит вверх справа и вниз слева.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\);
5) возрастает на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\);
6) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
7) функция нечётная.
3) \(y = x^7\). Показатель нечётный, и при любом \(x\) верно равенство \((-x)^7 = -x^7\), поэтому график симметричен относительно начала координат и имеет тот же вид, что и график функции \(y = x^5\): проходит через точки \((-1;\ -1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), но вблизи начала координат прижат к оси \(x\) ещё теснее, а вне отрезка \([-1;\ 1]\) поднимается и опускается ещё круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\);
5) возрастает на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\);
6) наибольшего и наименьшего значений не имеет;
7) функция нечётная.
4) \(y = x^6\). Показатель чётный, и при любом \(x\) верно равенство \((-x)^6 = x^6\), поэтому график симметричен относительно оси \(y\) и имеет тот же вид, что и график функции \(y = x^4\): проходит через точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\), \((1;\ 1)\), вблизи начала координат прижат к оси \(x\) ещё теснее, а вне отрезка \([-1;\ 1]\) поднимается ещё круче.
Свойства функции:
1) область определения \(D(y) = (-\infty;\ +\infty)\);
2) множество значений \(E(y) = [0;\ +\infty)\);
3) нуль функции: \(x = 0\);
4) \(y > 0\) при \(x \ne 0\);
5) убывает на промежутке \((-\infty;\ 0]\), возрастает на промежутке \([0;\ +\infty)\);
6) при \(x = 0\) принимает наименьшее значение, равное нулю; наибольшего значения нет;
7) функция чётная.
Ответ: графики функций \(y = x^4\) и \(y = x^6\) похожи на параболу \(y = x^2\) и симметричны относительно оси \(y\): обе функции определены на всей числовой прямой, принимают неотрицательные значения, убывают на \((-\infty;\ 0]\) и возрастают на \([0;\ +\infty)\), в точке \(x = 0\) принимают наименьшее значение, равное нулю, и являются чётными; графики функций \(y = x^5\) и \(y = x^7\) похожи на кубическую параболу и симметричны относительно начала координат: обе функции определены на всей числовой прямой, принимают все значения, возрастают на \((-\infty;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений не имеют и являются нечётными; у всех четырёх функций единственный нуль \(x = 0\).
