Страница 129 номер 5.3.2, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Область определения состоит из всех значений \(x\), при которых выражение в правой части имеет смысл.
1) \(y = 5x^2 - 7x + 1000\). Правая часть — многочлен, он имеет смысл при любом значении переменной. Область определения — множество всех чисел.
2) \(y = \sqrt{x + 5}\). Подкоренное выражение неотрицательно: \[x + 5 \geqslant 0, \quad x \geqslant -5.\]
3) \(y = \sqrt[3]{x - 7}\). Куб может быть и положительным, и отрицательным, и нулём, поэтому кубический корень существует при любом \(x\). Область определения — множество всех чисел.
4) \(y = \dfrac{1}{x + 13}\). Знаменатель отличен от нуля: \[x + 13 \ne 0, \quad x \ne -13.\]
5) \(y = \dfrac{x}{x - 1}\). Знаменатель отличен от нуля: \[x - 1 \ne 0, \quad x \ne 1.\]
6) \(y = \dfrac{1}{x^2 - 4}\). Знаменатель отличен от нуля: \(x^2 - 4 \ne 0\), то есть \(x^2 \ne 4\), откуда \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\). Коротко: \(x \ne \pm 2\).
Ответ: 1) все числа; 2) \(x \geqslant -5\); 3) все числа; 4) \(x \ne -13\); 5) \(x \ne 1\); 6) \(x \ne \pm 2\).
Если функция задана формулой, а область определения не указана, то она состоит из всех значений \(x\), при которых выражение в правой части имеет смысл.
1) \(y = 5x^2 - 7x + 1000\). Правая часть — многочлен, а многочлен имеет смысл при любом значении переменной. Область определения — множество всех чисел.
2) \(y = \sqrt{x + 5}\). Арифметический квадратный корень имеет смысл только при неотрицательном подкоренном выражении: \[x + 5 \geqslant 0, \quad x \geqslant -5.\]
3) \(y = \sqrt[3]{x - 7}\). Кубический корень \(\sqrt[3]{a}\) — это число, куб которого равен \(a\); такое число существует при любом \(a\), потому что куб может быть и положительным, и отрицательным, и нулём. Значит, выражение \(\sqrt[3]{x - 7}\) имеет смысл при любом \(x\), и область определения — множество всех чисел.
4) \(y = \dfrac{1}{x + 13}\). Дробь имеет смысл, когда её знаменатель отличен от нуля: \[x + 13 \ne 0, \quad x \ne -13.\]
5) \(y = \dfrac{x}{x - 1}\). Знаменатель не должен обращаться в нуль: \[x - 1 \ne 0, \quad x \ne 1.\]
6) \(y = \dfrac{1}{x^2 - 4}\). Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(x^2 - 4 \ne 0\), то есть \(x^2 \ne 4\), откуда \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\). Коротко: \(x \ne \pm 2\).
Ответ: 1) все числа; 2) \(x \geqslant -5\); 3) все числа; 4) \(x \ne -13\); 5) \(x \ne 1\); 6) \(x \ne \pm 2\).
