Страница 133 номер 5.3.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Абсциссы точек пересечения — корни уравнения, полученного приравниванием правых частей формул.
1) \(2x = \frac{32}{x}\), причём \(x \ne 0\); умножим обе части на \(x\):
\[2x^2 = 32, \quad x^2 = 16, \quad x_1 = -4, \quad x_2 = 4.\]
По формуле \(y = 2x\): \(y_1 = 2 \cdot (-4) = -8\), \(y_2 = 2 \cdot 4 = 8\). Точки пересечения — \((-4;\ -8)\) и \((4;\ 8)\).
2) \(-3x = -\frac{27}{x}\), причём \(x \ne 0\); умножим обе части на \(x\):
\[-3x^2 = -27, \quad x^2 = 9, \quad x_1 = -3, \quad x_2 = 3.\]
По формуле \(y = -3x\): \(y_1 = -3 \cdot (-3) = 9\), \(y_2 = -3 \cdot 3 = -9\). Точки пересечения — \((-3;\ 9)\) и \((3;\ -9)\).
3) \(\frac{3}{x + 2} = 2x - 1\), причём \(x \ne -2\); умножим обе части на \(x + 2\):
\[3 = (2x - 1)(x + 2), \quad 3 = 2x^2 + 3x - 2, \quad 2x^2 + 3x - 5 = 0.\]
\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), откуда \(x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2{,}5\) и \(x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1\); оба корня отличны от \(-2\).
По формуле \(y = 2x - 1\): \(y_1 = 2 \cdot (-2{,}5) - 1 = -6\), \(y_2 = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). Точки пересечения — \((-2{,}5;\ -6)\) и \((1;\ 1)\).
4) \(-\frac{4}{x - 2} = 3x + 1\), причём \(x \ne 2\); умножим обе части на \(x - 2\):
\[-4 = (3x + 1)(x - 2), \quad -4 = 3x^2 - 5x - 2, \quad 3x^2 - 5x + 2 = 0.\]
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\), откуда \(x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1\); оба корня отличны от 2.
По формуле \(y = 3x + 1\): \(y_1 = 3 \cdot \frac{2}{3} + 1 = 3\), \(y_2 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\). Точки пересечения — \(\left(\frac{2}{3};\ 3\right)\) и \((1;\ 4)\).
5) \(|x| = 3\), откуда \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\); ордината каждой точки равна 3. Точки пересечения — \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\).
6) \(|x| = 0\) только при \(x = 0\), и тогда \(y = 0\). Общая точка одна — \((0;\ 0)\).
Ответ: 1) \((-4;\ -8)\) и \((4;\ 8)\); 2) \((-3;\ 9)\) и \((3;\ -9)\); 3) \((-2{,}5;\ -6)\) и \((1;\ 1)\); 4) \(\left(\frac{2}{3};\ 3\right)\) и \((1;\ 4)\); 5) \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\); 6) \((0;\ 0)\).
В точке пересечения графиков обе функции принимают одно и то же значение, поэтому абсциссы таких точек — корни уравнения, полученного приравниванием правых частей формул.
1) \(2x = \frac{32}{x}\), причём \(x \ne 0\). Умножим обе части на \(x\):
\[2x^2 = 32, \quad x^2 = 16, \quad x_1 = -4, \quad x_2 = 4.\]
Ординаты найдём по формуле \(y = 2x\): \(y_1 = 2 \cdot (-4) = -8\) и \(y_2 = 2 \cdot 4 = 8\). Графики пересекаются в точках \((-4;\ -8)\) и \((4;\ 8)\).
2) \(-3x = -\frac{27}{x}\), причём \(x \ne 0\). Умножим обе части на \(x\):
\[-3x^2 = -27, \quad x^2 = 9, \quad x_1 = -3, \quad x_2 = 3.\]
По формуле \(y = -3x\) получаем \(y_1 = -3 \cdot (-3) = 9\) и \(y_2 = -3 \cdot 3 = -9\). Точки пересечения — \((-3;\ 9)\) и \((3;\ -9)\).
3) \(\frac{3}{x + 2} = 2x - 1\), причём \(x \ne -2\). Умножим обе части на \(x + 2\):
\[3 = (2x - 1)(x + 2), \quad 3 = 2x^2 + 3x - 2, \quad 2x^2 + 3x - 5 = 0.\]
\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), откуда \(x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -2{,}5\) и \(x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1\). Оба корня отличны от \(-2\). По формуле \(y = 2x - 1\) находим \(y_1 = 2 \cdot (-2{,}5) - 1 = -6\) и \(y_2 = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). Точки пересечения — \((-2{,}5;\ -6)\) и \((1;\ 1)\).
4) \(-\frac{4}{x - 2} = 3x + 1\), причём \(x \ne 2\). Умножим обе части на \(x - 2\):
\[-4 = (3x + 1)(x - 2), \quad -4 = 3x^2 - 5x - 2, \quad 3x^2 - 5x + 2 = 0.\]
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\), откуда \(x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1\). Оба корня отличны от 2. По формуле \(y = 3x + 1\) находим \(y_1 = 3 \cdot \frac{2}{3} + 1 = 3\) и \(y_2 = 3 \cdot 1 + 1 = 4\). Точки пересечения — \(\left(\frac{2}{3};\ 3\right)\) и \((1;\ 4)\).
5) \(|x| = 3\), откуда \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\). Ордината каждой точки равна 3. Точки пересечения — \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\).
6) \(|x| = 0\) только при \(x = 0\), и тогда \(y = 0\). Общая точка одна — \((0;\ 0)\).
Ответ: 1) \((-4;\ -8)\) и \((4;\ 8)\); 2) \((-3;\ 9)\) и \((3;\ -9)\); 3) \((-2{,}5;\ -6)\) и \((1;\ 1)\); 4) \(\left(\frac{2}{3};\ 3\right)\) и \((1;\ 4)\); 5) \((-3;\ 3)\) и \((3;\ 3)\); 6) \((0;\ 0)\).
