Страница 133 номер 5.3.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Абсциссы точек пересечения — значения \(x\), при которых обе функции принимают равные значения.
1) \(y = \frac{3}{x}\) — гипербола, при \(k = 3 > 0\) её ветви лежат в первой и третьей четвертях:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & 3 & 1{,}5 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
График \(y = \sqrt{x}\) выходит из начала координат и лежит в первой четверти:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 1{,}4 & 2 & 2{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Общая точка одна, её абсцисса чуть больше 2 и приближённо равна \(2{,}1\).
2) \(y = x^2 - 1\) — парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 1 единицу вниз, вершина — точка \((0;\ -1)\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
График \(y = 2x + 1\) — прямая через точки \((0;\ 1)\) и \((2;\ 5)\).
Общих точек две, их абсциссы приближённо равны \(-0{,}7\) и \(2{,}7\).
3) \(y = (x - 2)^2\) — парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 2 единицы вправо, вершина — точка \((2;\ 0)\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
Значения функции \(y = \sqrt[3]{x}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0{,}125 & 0 & 0{,}125 & 1 & 3{,}375 \\ \hline y & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Общих точек две. Первая — точка \((1;\ 1)\), её абсцисса точная: \((1 - 2)^2 = 1\) и \(\sqrt[3]{1} = 1\). Абсцисса второй приближённо равна \(3{,}2\).
4) \(y = 3x + 2\) — прямая через точки \((0;\ 2)\) и \((1;\ 5)\); \(y = x^3\) — кубическая парабола:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Общих точек две: в точке \((-1;\ -1)\) прямая касается кубической параболы, в точке \((2;\ 8)\) пересекает её. Обе абсциссы точные: \(3 \cdot (-1) + 2 = -1\) и \((-1)^3 = -1\); \(3 \cdot 2 + 2 = 8\) и \(2^3 = 8\).
Ответ: 1) \(x \approx 2{,}1\); 2) \(x_1 \approx -0{,}7\), \(x_2 \approx 2{,}7\); 3) \(x_1 = 1\), \(x_2 \approx 3{,}2\); 4) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\).
Абсциссы точек пересечения графиков — это те значения \(x\), при которых обе функции принимают равные значения.
1) График функции \(y = \frac{3}{x}\) — гипербола; при \(k = 3 > 0\) её ветви лежат в первой и третьей координатных четвертях:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & 3 & 1{,}5 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
График функции \(y = \sqrt{x}\) выходит из начала координат и целиком лежит в первой четверти:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 1{,}4 & 2 & 2{,}4 \\ \hline \end{array}\]
Общая точка одна; её абсцисса чуть больше 2 и приближённо равна \(2{,}1\).
2) График функции \(y = x^2 - 1\) — парабола, полученная сдвигом параболы \(y = x^2\) на 1 единицу вниз; её вершина — точка \((0;\ -1)\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}\]
График функции \(y = 2x + 1\) — прямая, проходящая через точки \((0;\ 1)\) и \((2;\ 5)\).
Общих точек две; их абсциссы приближённо равны \(-0{,}7\) и \(2{,}7\).
3) График функции \(y = (x - 2)^2\) — парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 2 единицы вправо; её вершина — точка \((2;\ 0)\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}\]
Кубическим корнем из числа \(a\) называют число, куб которого равен \(a\); он определён при любом \(a\) и имеет тот же знак, что и \(a\). Значения функции \(y = \sqrt[3]{x}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0{,}125 & 0 & 0{,}125 & 1 & 3{,}375 \\ \hline y & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Общих точек две. Первая из них — точка \((1;\ 1)\), и её абсцисса точная: при \(x = 1\) получаем \((1 - 2)^2 = 1\) и \(\sqrt[3]{1} = 1\). Абсцисса второй точки приближённо равна \(3{,}2\).
4) График функции \(y = 3x + 2\) — прямая, проходящая через точки \((0;\ 2)\) и \((1;\ 5)\). График функции \(y = x^3\) — кубическая парабола:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -8 & -1 & 0 & 1 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Общих точек две: в точке \((-1;\ -1)\) прямая касается кубической параболы, а в точке \((2;\ 8)\) пересекает её. Обе абсциссы точные: при \(x = -1\) имеем \(3 \cdot (-1) + 2 = -1\) и \((-1)^3 = -1\); при \(x = 2\) имеем \(3 \cdot 2 + 2 = 8\) и \(2^3 = 8\).
Ответ: 1) \(x \approx 2{,}1\); 2) \(x_1 \approx -0{,}7\), \(x_2 \approx 2{,}7\); 3) \(x_1 = 1\), \(x_2 \approx 3{,}2\); 4) \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\).
