Страница 133 номер 5.3.15, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x}\).
При \(x < 0\) парабола лежит выше оси абсцисс, а гипербола — ниже неё, поэтому левее оси ординат общих точек нет. При \(x > 0\) парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому общая точка там не больше одной, и она есть: при \(x = 1\) обе функции принимают значение 1. Графики имеют одну общую точку \((1;\ 1)\).
2) \(y = x^2 + 1\) и \(y = \frac{2}{x}\).
При \(x < 0\) значения параболы положительны, а значения гиперболы отрицательны, поэтому общих точек левее оси ординат нет. При \(x > 0\) парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому общая точка там не больше одной, и она есть: при \(x = 1\) обе функции принимают значение 2. Графики имеют одну общую точку \((1;\ 2)\).
3) \(y = -\frac{2}{x}\) и \(y = x^2 + 5\).
При \(x > 0\) гипербола лежит ниже оси абсцисс, а парабола — не ниже прямой \(y = 5\), поэтому правее оси ординат общих точек нет. На промежутке \((-\infty;\ 0)\) парабола убывает, а гипербола возрастает, поэтому общая точка там не больше одной. При \(x = -1\) парабола выше гиперболы, так как \((-1)^2 + 5 = 6\), а \(-\frac{2}{-1} = 2\); при \(x = -0{,}2\) парабола ниже гиперболы, так как \((-0{,}2)^2 + 5 = 5{,}04\), а \(-\frac{2}{-0{,}2} = 10\). Значит, между этими значениями линии пересекаются, и графики имеют одну общую точку.
4) \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = x^2 + 4\).
При \(x > 0\) гипербола лежит ниже оси абсцисс, а парабола — не ниже прямой \(y = 4\), поэтому правее оси ординат общих точек нет. На промежутке \((-\infty;\ 0)\) парабола убывает, а гипербола возрастает, поэтому общая точка там не больше одной. При \(x = -1\) парабола выше гиперболы, так как \((-1)^2 + 4 = 5\), а \(-\frac{3}{-1} = 3\); при \(x = -0{,}5\) парабола ниже гиперболы, так как \((-0{,}5)^2 + 4 = 4{,}25\), а \(-\frac{3}{-0{,}5} = 6\). Значит, между этими значениями линии пересекаются, и графики имеют одну общую точку.
5) \(y = |x|\) и \(y = x^2\).
Общие точки находим из равенства \(|x| = x^2\). При \(x \geqslant 0\) оно принимает вид \(x = x^2\), то есть \(x^2 - x = 0\), \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\). При \(x < 0\) оно принимает вид \(-x = x^2\), то есть \(x^2 + x = 0\), \(x(x + 1) = 0\), откуда \(x = -1\) (значение \(x = 0\) условию \(x < 0\) не удовлетворяет). Графики имеют три общие точки: \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
6) \(y = |x|\) и \(y = \sqrt{x}\).
Функция \(y = \sqrt{x}\) определена только при \(x \geqslant 0\), а при \(x \geqslant 0\) верно \(|x| = x\), поэтому остаётся решить уравнение \(x = \sqrt{x}\). Обе его части неотрицательны, возведём их в квадрат: \(x^2 = x\), \(x^2 - x = 0\), \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\). Графики имеют две общие точки: \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Ответ: 1) одну общую точку \((1;\ 1)\); 2) одну общую точку \((1;\ 2)\); 3) одну общую точку; 4) одну общую точку; 5) три общие точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\); 6) две общие точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Общие точки двух графиков — это точки, у которых при одном и том же значении \(x\) совпадают значения обеих функций. Строим оба графика в одной системе координат и считаем точки, в которых линии встречаются.
1) \(y = x^2\) и \(y = \frac{1}{x}\).
При \(x < 0\) парабола лежит выше оси абсцисс, а гипербола — ниже неё, поэтому левее оси ординат общих точек нет. При \(x > 0\) парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому общая точка там не больше одной. Она есть: при \(x = 1\) обе функции принимают значение 1. Графики имеют одну общую точку \((1;\ 1)\).
2) \(y = x^2 + 1\) и \(y = \frac{2}{x}\).
При \(x < 0\) значения параболы положительны, а значения гиперболы отрицательны, поэтому общих точек левее оси ординат нет. При \(x > 0\) парабола возрастает, а гипербола убывает, поэтому общая точка там не больше одной. Она есть: при \(x = 1\) обе функции принимают значение 2. Графики имеют одну общую точку \((1;\ 2)\).
3) \(y = -\frac{2}{x}\) и \(y = x^2 + 5\).
При \(x > 0\) гипербола лежит ниже оси абсцисс, а парабола — не ниже прямой \(y = 5\), поэтому правее оси ординат общих точек нет. На промежутке \((-\infty;\ 0)\) парабола убывает, а гипербола возрастает, поэтому общая точка там не больше одной. Она есть: при \(x = -1\) парабола выше гиперболы, так как \((-1)^2 + 5 = 6\), а \(-\frac{2}{-1} = 2\); при \(x = -0{,}2\) парабола ниже гиперболы, так как \((-0{,}2)^2 + 5 = 5{,}04\), а \(-\frac{2}{-0{,}2} = 10\). Значит, между этими значениями линии пересекаются, и графики имеют одну общую точку.
4) \(y = -\frac{3}{x}\) и \(y = x^2 + 4\).
При \(x > 0\) гипербола лежит ниже оси абсцисс, а парабола — не ниже прямой \(y = 4\), поэтому правее оси ординат общих точек нет. На промежутке \((-\infty;\ 0)\) парабола убывает, а гипербола возрастает, поэтому общая точка там не больше одной. Она есть: при \(x = -1\) парабола выше гиперболы, так как \((-1)^2 + 4 = 5\), а \(-\frac{3}{-1} = 3\); при \(x = -0{,}5\) парабола ниже гиперболы, так как \((-0{,}5)^2 + 4 = 4{,}25\), а \(-\frac{3}{-0{,}5} = 6\). Значит, между этими значениями линии пересекаются, и графики имеют одну общую точку.
5) \(y = |x|\) и \(y = x^2\).
Общие точки находим из равенства \(|x| = x^2\). При \(x \geqslant 0\) оно принимает вид \(x = x^2\), то есть \(x^2 - x = 0\), \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\). При \(x < 0\) оно принимает вид \(-x = x^2\), то есть \(x^2 + x = 0\), \(x(x + 1) = 0\), откуда \(x = -1\) (значение \(x = 0\) условию \(x < 0\) не удовлетворяет). Графики имеют три общие точки: \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
6) \(y = |x|\) и \(y = \sqrt{x}\).
Функция \(y = \sqrt{x}\) определена только при \(x \geqslant 0\), поэтому общие точки могут быть только при \(x \geqslant 0\); но при \(x \geqslant 0\) верно \(|x| = x\). Остаётся решить уравнение \(x = \sqrt{x}\). Обе его части неотрицательны, поэтому возведём их в квадрат: \(x^2 = x\), \(x^2 - x = 0\), \(x(x - 1) = 0\), откуда \(x = 0\) или \(x = 1\). Графики имеют две общие точки: \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Ответ: 1) одну общую точку \((1;\ 1)\); 2) одну общую точку \((1;\ 2)\); 3) одну общую точку; 4) одну общую точку; 5) три общие точки \((-1;\ 1)\), \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\); 6) две общие точки \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
