Страница 133 номер 5.3.14, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Построить график функции \(y = \frac{3}{x}\). Выяснить, при каких значениях \(x\): 1) \(y(x) = 3\); 2) \(y(x) = -\frac{1}{2}\); 3) \(y(x) \le 1\); 4) \(y(x) > 1\).
\(y = \frac{3}{x}\) — обратная пропорциональность с \(k = 3 > 0\): область определения — все числа, кроме нуля, график — гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & 3 & 1{,}5 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Проведём в той же системе координат прямые \(y = 3\), \(y = -\frac{1}{2}\) и \(y = 1\).
1) Из равенства \(\frac{3}{x} = 3\) получаем \(3 = 3x\), откуда \(x = 1\): прямая \(y = 3\) пересекает гиперболу в единственной точке \((1;\ 3)\).
2) Из равенства \(\frac{3}{x} = -\frac{1}{2}\) получаем \(6 = -x\), то есть \(x = -6\): прямая \(y = -\frac{1}{2}\) пересекает гиперболу в единственной точке \(\left(-6;\ -\frac{1}{2}\right)\).
3) Вся левая ветвь лежит ниже оси абсцисс, то есть ниже прямой \(y = 1\), — на ней годится любое \(x < 0\); правая ветвь пересекает прямую \(y = 1\) в точке \((3;\ 1)\) и правее этой точки лежит ниже прямой. Значит, \(y(x) \leqslant 1\) при \(x < 0\) и при \(x \geqslant 3\).
4) Остаётся часть правой ветви левее точки \((3;\ 1)\): она лежит выше прямой \(y = 1\). Значит, \(y(x) > 1\) при \(0 < x < 3\).
Ответ: 1) \(x = 1\); 2) \(x = -6\); 3) \(x < 0\), \(x \geqslant 3\); 4) \(0 < x < 3\).
Построить график функции \(y = \frac{3}{x}\). Выяснить, при каких значениях \(x\): 1) \(y(x) = 3\); 2) \(y(x) = -\frac{1}{2}\); 3) \(y(x) \le 1\); 4) \(y(x) > 1\).
Функция \(y = \frac{3}{x}\) — обратная пропорциональность с \(k = 3 > 0\). Её область определения — все числа, кроме нуля; график — гипербола, ветви которой лежат в первой и третьей координатных четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -3 & 3 & 1{,}5 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Проведём в той же системе координат прямые \(y = 3\), \(y = -\frac{1}{2}\) и \(y = 1\) — по ним читаются все четыре вопроса.
1) \(y(x) = 3\). Из равенства \(\frac{3}{x} = 3\) получаем \(3 = 3x\), откуда \(x = 1\). Прямая \(y = 3\) пересекает гиперболу в единственной точке \((1;\ 3)\).
2) \(y(x) = -\frac{1}{2}\). Из равенства \(\frac{3}{x} = -\frac{1}{2}\) получаем \(6 = -x\), то есть \(x = -6\). Прямая \(y = -\frac{1}{2}\) пересекает гиперболу в единственной точке \(\left(-6;\ -\frac{1}{2}\right)\).
3) \(y(x) \leqslant 1\). Вся левая ветвь лежит ниже оси абсцисс, то есть ниже прямой \(y = 1\); на ней годится любое \(x < 0\). Правая ветвь пересекает прямую \(y = 1\) в точке \((3;\ 1)\) и правее этой точки лежит ниже прямой. Значит, \(y(x) \leqslant 1\) при \(x < 0\) и при \(x \geqslant 3\).
4) \(y(x) > 1\). Остаётся часть правой ветви левее точки \((3;\ 1)\): она лежит выше прямой \(y = 1\). Значит, \(y(x) > 1\) при \(0 < x < 3\).
Ответ: 1) \(x = 1\); 2) \(x = -6\); 3) \(x < 0\), \(x \geqslant 3\); 4) \(0 < x < 3\).
