Страница 133 номер 5.3.13, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Построить график функции \(y = -\frac{2}{x}\). Выяснить, при каких значениях \(x\): 1) \(y(x) = -1\); 2) \(y(x) = \frac{1}{3}\); 3) \(y(x) > 1\); 4) \(y(x) \le 1\).
\(y = -\frac{2}{x}\) — обратная пропорциональность с \(k = -2 < 0\): область определения — все числа, кроме нуля, график — гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & \frac{1}{3} & 0{,}5 & 1 & 2 & -2 & -1 & -0{,}5 & -\frac{1}{3} \\ \hline \end{array}\]
Проведём в той же системе координат прямые \(y = -1\), \(y = \frac{1}{3}\) и \(y = 1\).
1) Из равенства \(-\frac{2}{x} = -1\) получаем \(-2 = -x\), откуда \(x = 2\): прямая \(y = -1\) пересекает гиперболу в единственной точке \((2;\ -1)\).
2) Из равенства \(-\frac{2}{x} = \frac{1}{3}\) получаем \(-6 = x\), то есть \(x = -6\): прямая \(y = \frac{1}{3}\) пересекает гиперболу в единственной точке \(\left(-6;\ \frac{1}{3}\right)\).
3) Положительные значения функция принимает только при \(x < 0\), то есть на левой ветви; эта ветвь пересекает прямую \(y = 1\) в точке \((-2;\ 1)\), а правее этой точки, приближаясь к оси ординат, поднимается выше прямой. Значит, \(y(x) > 1\) при \(-2 < x < 0\).
4) Левая ветвь лежит не выше прямой \(y = 1\) при \(x \leqslant -2\), а вся правая ветвь лежит ниже оси абсцисс, то есть ниже прямой \(y = 1\). Значит, \(y(x) \leqslant 1\) при \(x \leqslant -2\) и при \(x > 0\).
Ответ: 1) \(x = 2\); 2) \(x = -6\); 3) \(-2 < x < 0\); 4) \(x \leqslant -2\), \(x > 0\).
Построить график функции \(y = -\frac{2}{x}\). Выяснить, при каких значениях \(x\): 1) \(y(x) = -1\); 2) \(y(x) = \frac{1}{3}\); 3) \(y(x) > 1\); 4) \(y(x) \le 1\).
Функция \(y = -\frac{2}{x}\) — обратная пропорциональность с \(k = -2 < 0\). Её область определения — все числа, кроме нуля; график — гипербола, ветви которой лежат во второй и четвёртой координатных четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & \frac{1}{3} & 0{,}5 & 1 & 2 & -2 & -1 & -0{,}5 & -\frac{1}{3} \\ \hline \end{array}\]
Проведём в той же системе координат прямые \(y = -1\), \(y = \frac{1}{3}\) и \(y = 1\) — по ним читаются все четыре вопроса.
1) \(y(x) = -1\). Из равенства \(-\frac{2}{x} = -1\) получаем \(-2 = -x\), откуда \(x = 2\). Прямая \(y = -1\) пересекает гиперболу в единственной точке \((2;\ -1)\).
2) \(y(x) = \frac{1}{3}\). Из равенства \(-\frac{2}{x} = \frac{1}{3}\) получаем \(-6 = x\), то есть \(x = -6\). Прямая \(y = \frac{1}{3}\) пересекает гиперболу в единственной точке \(\left(-6;\ \frac{1}{3}\right)\).
3) \(y(x) > 1\). Положительные значения функция принимает только при \(x < 0\), то есть на левой ветви. Эта ветвь пересекает прямую \(y = 1\) в точке \((-2;\ 1)\), а правее этой точки, приближаясь к оси ординат, поднимается выше прямой. Значит, \(y(x) > 1\) при \(-2 < x < 0\).
4) \(y(x) \leqslant 1\). Левая ветвь лежит не выше прямой \(y = 1\) при \(x \leqslant -2\), а вся правая ветвь лежит ниже оси абсцисс, то есть ниже прямой \(y = 1\). Значит, \(y(x) \leqslant 1\) при \(x \leqslant -2\) и при \(x > 0\).
Ответ: 1) \(x = 2\); 2) \(x = -6\); 3) \(-2 < x < 0\); 4) \(x \leqslant -2\), \(x > 0\).
