Страница 132 номер 5.3.11, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Построить график функции: 1) \(y = -\frac{3}{x}\); 2) \(y = \frac{0{,}5}{x}\); 3) \(y = \frac{4}{x}\); 4) \(y = -\frac{0{,}4}{x}\) и перечислить её свойства.
Каждая функция — обратная пропорциональность \(y = \frac{k}{x}\), её график — гипербола из двух ветвей, симметричных относительно начала координат: при \(k > 0\) ветви лежат в первой и третьей четвертях, при \(k < 0\) — во второй и четвёртой, а асимптотами служат оси координат.
1) \(y = -\frac{3}{x}\): здесь \(k = -3 < 0\), ветви лежат во второй и четвёртой четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 3 & -3 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = -\frac{3}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей нет: дробь \(-\frac{3}{x}\) ни при каком \(x\) в нуль не обращается.
4. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
5. Функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но возрастающей функцией не является: \(-1 < 1\), а значениям \(-1\) и 1 отвечают значения функции 3 и \(-3\), из которых первое больше.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции, и график симметричен относительно начала координат.
2) \(y = \frac{0{,}5}{x}\): здесь \(k = 0{,}5 > 0\), ветви лежат в первой и третьей четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & -0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}25 & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = \frac{0{,}5}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
5. Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но убывающей функцией не является: \(-1 < 1\), а значениям \(-1\) и 1 отвечают значения функции \(-0{,}5\) и \(0{,}5\), из которых первое меньше.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
3) \(y = \frac{4}{x}\): здесь \(k = 4 > 0\), ветви лежат в первой и третьей четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = \frac{4}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
5. Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но убывающей функцией не является.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
4) \(y = -\frac{0{,}4}{x}\): здесь \(k = -0{,}4 < 0\), ветви лежат во второй и четвёртой четвертях.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}4 & -0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 & 1 & 2 \\ \hline y & 0{,}2 & 0{,}4 & 1 & 2 & -2 & -1 & -0{,}4 & -0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = -\frac{0{,}4}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
5. Функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но возрастающей функцией не является.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
Ответ: 1) графиком служит гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x < 0\) и \(y < 0\) при \(x > 0\), функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 2) гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x > 0\) и \(y < 0\) при \(x < 0\), функция убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 3) гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x > 0\) и \(y < 0\) при \(x < 0\), функция убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 4) гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x < 0\) и \(y < 0\) при \(x > 0\), функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная.
Построить график функции: 1) \(y = -\frac{3}{x}\); 2) \(y = \frac{0{,}5}{x}\); 3) \(y = \frac{4}{x}\); 4) \(y = -\frac{0{,}4}{x}\) и перечислить её свойства.
Каждая из данных функций — обратная пропорциональность \(y = \frac{k}{x}\), её график — гипербола из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. При \(k > 0\) ветви лежат в первой и третьей координатных четвертях, при \(k < 0\) — во второй и четвёртой. Оси координат являются асимптотами гиперболы: точки графика, удаляясь от оси ординат, неограниченно приближаются к оси абсцисс, а удаляясь от оси абсцисс — к оси ординат.
1) \(y = -\frac{3}{x}\). Здесь \(k = -3 < 0\), ветви лежат во второй и четвёртой четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -6 & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 6 \\ \hline y & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 3 & -3 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = -\frac{3}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет: дробь \(-\frac{3}{x}\) ни при каком \(x\) в нуль не обращается.
4. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
5. Функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но возрастающей функцией она не является: например, \(-1 < 1\), а значениям \(-1\) и 1 отвечают значения функции 3 и \(-3\), из которых первое больше.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: противоположным значениям аргумента отвечают противоположные значения функции, и график симметричен относительно начала координат.
2) \(y = \frac{0{,}5}{x}\). Здесь \(k = 0{,}5 > 0\), ветви лежат в первой и третьей четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}5 & -0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 & 1 & 2 \\ \hline y & -0{,}25 & -0{,}5 & -1 & -2 & 2 & 1 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = \frac{0{,}5}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
5. Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но убывающей функцией она не является: например, \(-1 < 1\), а значениям \(-1\) и 1 отвечают значения функции \(-0{,}5\) и \(0{,}5\), из которых первое меньше.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
3) \(y = \frac{4}{x}\). Здесь \(k = 4 > 0\), ветви лежат в первой и третьей четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -8 & -4 & -2 & -1 & 1 & 2 & 4 & 8 \\ \hline y & -0{,}5 & -1 & -2 & -4 & 4 & 2 & 1 & 0{,}5 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = \frac{4}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x > 0\); \(y < 0\) при \(x < 0\).
5. Функция убывает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но убывающей функцией она не является.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
4) \(y = -\frac{0{,}4}{x}\). Здесь \(k = -0{,}4 < 0\), ветви лежат во второй и четвёртой четвертях. Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & -0{,}4 & -0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}4 & 1 & 2 \\ \hline y & 0{,}2 & 0{,}4 & 1 & 2 & -2 & -1 & -0{,}4 & -0{,}2 \\ \hline \end{array}\]
Свойства функции \(y = -\frac{0{,}4}{x}\):
1. Область определения: \(x \ne 0\).
2. Множество значений: \(y \ne 0\).
3. Нулей функция не имеет.
4. \(y > 0\) при \(x < 0\); \(y < 0\) при \(x > 0\).
5. Функция возрастает на промежутке \((-\infty;\ 0)\) и на промежутке \((0;\ +\infty)\), но возрастающей функцией она не является.
6. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
7. Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.
Ответ: 1) графиком служит гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x < 0\) и \(y < 0\) при \(x > 0\), функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 2) гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x > 0\) и \(y < 0\) при \(x < 0\), функция убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 3) гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x > 0\) и \(y < 0\) при \(x < 0\), функция убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная; 4) гипербола с ветвями во второй и четвёртой четвертях; \(x \ne 0\), \(y \ne 0\), нулей нет, \(y > 0\) при \(x < 0\) и \(y < 0\) при \(x > 0\), функция возрастает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\), наибольшего и наименьшего значений нет, функция нечётная.
