Страница 118 номер 5.2.9, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Графики — параболы с вершиной в начале координат: при положительном коэффициенте при \(x^2\) ветви вверх, при отрицательном — вниз. Функции \(y = ax^2\) и \(y = -ax^2\) при одном и том же значении аргумента принимают противоположные значения, поэтому их графики симметричны относительно оси \(x\).
1) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = x^2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y = -x^2 & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
2) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = 2x^2 & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline y = -2x^2 & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\ \hline \end{array}\]
3) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y = -\frac{x^2}{2} & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\ \hline y = \frac{x^2}{2} & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline \end{array}\]
4) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1{,}5 & 0 & 1{,}5 & 3 \\ \hline y = -\frac{1}{3}x^2 & -3 & -0{,}75 & 0 & -0{,}75 & -3 \\ \hline y = \frac{1}{3}x^2 & 3 & 0{,}75 & 0 & 0{,}75 & 3 \\ \hline \end{array}\]
Парабола с ветвями вверх слева от оси \(y\) опускается, а справа поднимается: функции с положительным коэффициентом при \(x^2\) убывают на промежутке \(x \leqslant 0\) и возрастают на промежутке \(x \geqslant 0\). У парабол с ветвями вниз всё наоборот: функции с отрицательным коэффициентом возрастают на промежутке \(x \leqslant 0\) и убывают на промежутке \(x \geqslant 0\).
Ответ: на промежутке \(x \geqslant 0\) возрастают функции \(y = x^2\), \(y = 2x^2\), \(y = \frac{x^2}{2}\), \(y = \frac{1}{3}x^2\) и убывают функции \(y = -x^2\), \(y = -2x^2\), \(y = -\frac{x^2}{2}\), \(y = -\frac{1}{3}x^2\); на промежутке \(x \leqslant 0\) возрастают функции \(y = -x^2\), \(y = -2x^2\), \(y = -\frac{x^2}{2}\), \(y = -\frac{1}{3}x^2\) и убывают функции \(y = x^2\), \(y = 2x^2\), \(y = \frac{x^2}{2}\), \(y = \frac{1}{3}x^2\).
Графиком каждой из данных функций служит парабола с вершиной в начале координат: при положительном коэффициенте при \(x^2\) ветви направлены вверх, при отрицательном — вниз. При одном и том же значении аргумента функции \(y = ax^2\) и \(y = -ax^2\) принимают противоположные значения, поэтому их графики симметричны относительно оси \(x\).
1) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = x^2 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline y = -x^2 & -4 & -1 & 0 & -1 & -4 \\ \hline \end{array}\]
2) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = 2x^2 & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline y = -2x^2 & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\ \hline \end{array}\]
3) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline y = -\frac{x^2}{2} & -8 & -2 & 0 & -2 & -8 \\ \hline y = \frac{x^2}{2} & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline \end{array}\]
4) Таблица значений:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1{,}5 & 0 & 1{,}5 & 3 \\ \hline y = -\frac{1}{3}x^2 & -3 & -0{,}75 & 0 & -0{,}75 & -3 \\ \hline y = \frac{1}{3}x^2 & 3 & 0{,}75 & 0 & 0{,}75 & 3 \\ \hline \end{array}\]
Каждая парабола с ветвями вверх слева от оси \(y\) опускается, а справа поднимается: функции с положительным коэффициентом при \(x^2\) убывают на промежутке \(x \leqslant 0\) и возрастают на промежутке \(x \geqslant 0\). У парабол с ветвями вниз всё наоборот: функции с отрицательным коэффициентом возрастают на промежутке \(x \leqslant 0\) и убывают на промежутке \(x \geqslant 0\).
Ответ: на промежутке \(x \geqslant 0\) возрастают функции \(y = x^2\), \(y = 2x^2\), \(y = \frac{x^2}{2}\), \(y = \frac{1}{3}x^2\) и убывают функции \(y = -x^2\), \(y = -2x^2\), \(y = -\frac{x^2}{2}\), \(y = -\frac{1}{3}x^2\); на промежутке \(x \leqslant 0\) возрастают функции \(y = -x^2\), \(y = -2x^2\), \(y = -\frac{x^2}{2}\), \(y = -\frac{1}{3}x^2\) и убывают функции \(y = x^2\), \(y = 2x^2\), \(y = \frac{x^2}{2}\), \(y = \frac{1}{3}x^2\).
