Страница 118 номер 5.2.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
График функции \(y = 2x^2\) — парабола с вершиной в начале координат, ветви вверх; строим её по точкам таблицы и проводим прямые \(y = 8\) и \(y = \frac{1}{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Из \(2x^2 = 8\) получаем \(x^2 = 4\), \(x = -2\) или \(x = 2\): прямая \(y = 8\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-2\) и 2.
Из \(2x^2 = \frac{1}{2}\) получаем \(x^2 = \frac{1}{4}\), \(x = -\frac{1}{2}\) или \(x = \frac{1}{2}\): прямая \(y = \frac{1}{2}\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2}\).
1) Ниже прямой \(y = 8\) парабола лежит при \(-2 < x < 2\).
2) На прямой \(y = 8\) или выше неё парабола лежит при \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\).
3) Выше прямой \(y = \frac{1}{2}\) парабола лежит при \(x < -\frac{1}{2}\), \(x > \frac{1}{2}\).
4) На прямой \(y = \frac{1}{2}\) или ниже неё парабола лежит при \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\).
5) Вся парабола расположена не ниже оси \(x\), а прямая \(y = -2\) лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(2x^2 > -2\) верно при любом \(x\).
6) Прямая \(y = -3\) тоже лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(2x^2 \geqslant -3\) верно при любом \(x\).
7) Наименьшее значение функции равно нулю, а \(-1 < 0\): ни одна точка параболы не лежит на прямой \(y = -1\) или ниже неё, и неравенство \(2x^2 \leqslant -1\) решений не имеет.
8) По той же причине ни одна точка параболы не лежит ниже прямой \(y = -4\), и неравенство \(2x^2 < -4\) решений не имеет.
Ответ: 1) \(-2 < x < 2\); 2) \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\); 3) \(x < -\frac{1}{2}\), \(x > \frac{1}{2}\); 4) \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\); 5) \(x\) — любое число; 6) \(x\) — любое число; 7) решений нет; 8) решений нет.
Графиком функции \(y = 2x^2\) служит парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Построим её по точкам таблицы и проведём прямые \(y = 8\) и \(y = \frac{1}{2}\):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \\ \hline \end{array}\]
Прямая \(y = 8\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-2\) и 2: из \(2x^2 = 8\) получаем \(x^2 = 4\), \(x = -2\) или \(x = 2\). Прямая \(y = \frac{1}{2}\) пересекает параболу в точках с абсциссами \(-\frac{1}{2}\) и \(\frac{1}{2}\): из \(2x^2 = \frac{1}{2}\) получаем \(x^2 = \frac{1}{4}\), \(x = -\frac{1}{2}\) или \(x = \frac{1}{2}\).
1) Неравенству \(2x^2 < 8\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат ниже прямой \(y = 8\), то есть \(-2 < x < 2\).
2) Неравенству \(2x^2 \geqslant 8\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат на прямой \(y = 8\) или выше неё, то есть \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\).
3) Неравенству \(2x^2 > \frac{1}{2}\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат выше прямой \(y = \frac{1}{2}\), то есть \(x < -\frac{1}{2}\), \(x > \frac{1}{2}\).
4) Неравенству \(2x^2 \leqslant \frac{1}{2}\) отвечают те значения \(x\), при которых точки параболы лежат на прямой \(y = \frac{1}{2}\) или ниже неё, то есть \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\).
5) Вся парабола расположена не ниже оси \(x\), а прямая \(y = -2\) лежит ниже оси \(x\), поэтому каждая точка параболы лежит выше этой прямой. Неравенство \(2x^2 > -2\) верно при любом \(x\).
6) Прямая \(y = -3\) тоже лежит ниже оси \(x\), поэтому неравенство \(2x^2 \geqslant -3\) верно при любом \(x\).
7) Наименьшее значение функции \(y = 2x^2\) равно нулю, а \(-1 < 0\): ни одна точка параболы не лежит на прямой \(y = -1\) или ниже неё. Неравенство \(2x^2 \leqslant -1\) решений не имеет.
8) По той же причине ни одна точка параболы не лежит ниже прямой \(y = -4\), и неравенство \(2x^2 < -4\) решений не имеет.
Ответ: 1) \(-2 < x < 2\); 2) \(x \leqslant -2\), \(x \geqslant 2\); 3) \(x < -\frac{1}{2}\), \(x > \frac{1}{2}\); 4) \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\); 5) \(x\) — любое число; 6) \(x\) — любое число; 7) решений нет; 8) решений нет.
