Страница 118 номер 5.2.7, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Нули функции находим из уравнения \(y = 0\).
1) \(2x^2 + x = 0\), \(x(2x + 1) = 0\), откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = -0{,}5\).
2) \(-x^2 + 3x = 0\), \(-x(x - 3) = 0\), откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
3) \(x^2 - 5 = 0\), \(x^2 = 5\), откуда \(x_1 = -\sqrt{5}\), \(x_2 = \sqrt{5}\).
4) \(x^2 + 6 = 0\), \(x^2 = -6\). Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому нулей у функции нет.
5) \(x^2 + 6x + 9 = 0\), \((x + 3)^2 = 0\), откуда \(x = -3\).
6) \(x^2 - 8x + 16 = 0\), \((x - 4)^2 = 0\), откуда \(x = 4\).
7) \(-4x^2 + 4x - 1 = 0\); умножим обе части на \(-1\): \(4x^2 - 4x + 1 = 0\), \((2x - 1)^2 = 0\), \(2x - 1 = 0\), откуда \(x = 0{,}5\).
8) \(-9x^2 + 6x - 1 = 0\); умножим обе части на \(-1\): \(9x^2 - 6x + 1 = 0\), \((3x - 1)^2 = 0\), \(3x - 1 = 0\), откуда \(x = \frac{1}{3}\).
9) \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3\), \(x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}\).
10) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\), \(x_1 = \frac{7 - 3}{10} = 0{,}4\), \(x_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1\).
11) \(2x^2 + \frac{x}{2} + 3 = 0\); умножим обе части на 2: \(4x^2 + x + 6 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 1 - 96 = -95\). Так как \(D < 0\), корней уравнение не имеет, и нулей у функции нет.
12) \(x^2 - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} = 0\); умножим обе части на 3: \(3x^2 - x - 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(x_1 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{6} = 1\).
Ответ: 1) \(-0{,}5\) и 0; 2) 0 и 3; 3) \(-\sqrt{5}\) и \(\sqrt{5}\); 4) нулей нет; 5) \(-3\); 6) 4; 7) \(0{,}5\); 8) \(\frac{1}{3}\); 9) \(-3\) и \(\frac{1}{3}\); 10) \(0{,}4\) и 1; 11) нулей нет; 12) \(-\frac{2}{3}\) и 1.
Нули функции — это те значения аргумента, при которых значение функции равно нулю; находим их из уравнения \(y = 0\).
1) \(2x^2 + x = 0\), \(x(2x + 1) = 0\). Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей: \(x_1 = 0\) или \(2x + 1 = 0\), откуда \(x_2 = -0{,}5\).
2) \(-x^2 + 3x = 0\), \(-x(x - 3) = 0\), откуда \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
3) \(x^2 - 5 = 0\), \(x^2 = 5\), откуда \(x_1 = -\sqrt{5}\), \(x_2 = \sqrt{5}\).
4) \(x^2 + 6 = 0\), \(x^2 = -6\). Квадрат числа не бывает отрицательным, поэтому нулей у функции нет.
5) \(x^2 + 6x + 9 = 0\), \((x + 3)^2 = 0\), откуда \(x = -3\).
6) \(x^2 - 8x + 16 = 0\), \((x - 4)^2 = 0\), откуда \(x = 4\).
7) \(-4x^2 + 4x - 1 = 0\). Умножим обе части на \(-1\): \(4x^2 - 4x + 1 = 0\), \((2x - 1)^2 = 0\), \(2x - 1 = 0\), откуда \(x = 0{,}5\).
8) \(-9x^2 + 6x - 1 = 0\). Умножим обе части на \(-1\): \(9x^2 - 6x + 1 = 0\), \((3x - 1)^2 = 0\), \(3x - 1 = 0\), откуда \(x = \frac{1}{3}\).
9) \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), поэтому \(x_1 = \frac{-8 - 10}{6} = -3\), \(x_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}\).
10) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\), поэтому \(x_1 = \frac{7 - 3}{10} = 0{,}4\), \(x_2 = \frac{7 + 3}{10} = 1\).
11) \(2x^2 + \frac{x}{2} + 3 = 0\). Умножим обе части на 2: \(4x^2 + x + 6 = 0\). Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 1 - 96 = -95\). Так как \(D < 0\), корней уравнение не имеет, и нулей у функции нет.
12) \(x^2 - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} = 0\). Умножим обе части на 3: \(3x^2 - x - 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), поэтому \(x_1 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{6} = 1\).
Ответ: 1) \(-0{,}5\) и 0; 2) 0 и 3; 3) \(-\sqrt{5}\) и \(\sqrt{5}\); 4) нулей нет; 5) \(-3\); 6) 4; 7) \(0{,}5\); 8) \(\frac{1}{3}\); 9) \(-3\) и \(\frac{1}{3}\); 10) \(0{,}4\) и 1; 11) нулей нет; 12) \(-\frac{2}{3}\) и 1.
