Страница 128 номер 5.2.58, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения числа \(k\), при которых все нули функции \(y = x^2 + 2kx - 4k + 5\) принадлежат отрезку \([-3; 2]\).
Нули функции — корни уравнения \(x^2 + 2kx - 4k + 5 = 0\). По условию функция имеет нули и все они принадлежат отрезку \([-3;\ 2]\), поэтому дискриминант уравнения неотрицателен.
График — парабола, ветви которой направлены вверх (старший коэффициент равен 1). Оба нуля лежат на отрезке \(-3 \leqslant x \leqslant 2\) в том и только в том случае, когда одновременно выполняются три условия: \(D \geqslant 0\); \(y(-3) \geqslant 0\) и \(y(2) \geqslant 0\); \(-3 \leqslant x_0 \leqslant 2\).
\[D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k + 5) = 4k^2 + 16k - 20,\] поэтому условие \(D \geqslant 0\) равносильно неравенству \(k^2 + 4k - 5 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(k^2 + 4k - 5\) равны \(-5\) и 1 (по теореме Виета их сумма равна \(-4\), а произведение равно \(-5\)). Графиком квадратного трёхчлена \(k^2 + 4k - 5\) как функции переменной \(k\) служит парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках \(-5\) и 1; ниже оси абсцисс она лежит только между этими точками, а в самих точках и вне промежутка между ними — не ниже оси. Значит, \(k \leqslant -5\) или \(k \geqslant 1\).
\[y(-3) = (-3)^2 + 2k \cdot (-3) - 4k + 5 = 14 - 10k;\] \[y(2) = 2^2 + 2k \cdot 2 - 4k + 5 = 9.\]
Условие \(y(-3) \geqslant 0\) даёт \(14 - 10k \geqslant 0\), откуда \(k \leqslant 1{,}4\). Условие \(y(2) \geqslant 0\) выполняется при любом \(k\): график при любом \(k\) проходит через точку \((2;\ 9)\).
Абсцисса вершины \(x_0 = -\frac{2k}{2 \cdot 1} = -k\), и условие \(-3 \leqslant -k \leqslant 2\) даёт \(-2 \leqslant k \leqslant 3\).
Промежуток \(k \leqslant -5\) не удовлетворяет условию \(k \geqslant -2\), поэтому остаётся \(k \geqslant 1\); вместе с условиями \(k \leqslant 1{,}4\) и \(k \leqslant 3\) это даёт \(1 \leqslant k \leqslant 1{,}4\).
Ответ: \(1 \leqslant k \leqslant 1{,}4\).
Найти все значения числа \(k\), при которых все нули функции \(y = x^2 + 2kx - 4k + 5\) принадлежат отрезку \([-3; 2]\).
Нули функции \(y = x^2 + 2kx - 4k + 5\) — это корни уравнения \[x^2 + 2kx - 4k + 5 = 0.\] По условию функция имеет нули и все они принадлежат отрезку \([-3;\ 2]\), поэтому дискриминант уравнения неотрицателен.
Графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент равен 1. Оба нуля лежат на отрезке \(-3 \leqslant x \leqslant 2\) в том и только в том случае, когда одновременно выполняются три условия: парабола пересекает ось абсцисс или касается её (\(D \geqslant 0\)); значения функции на концах отрезка неотрицательны (\(y(-3) \geqslant 0\) и \(y(2) \geqslant 0\)); абсцисса вершины лежит между концами отрезка (\(-3 \leqslant x_0 \leqslant 2\)).
Дискриминант уравнения равен \[D = (2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k + 5) = 4k^2 + 16k - 20,\] поэтому условие \(D \geqslant 0\) равносильно неравенству \(k^2 + 4k - 5 \geqslant 0\). Корни трёхчлена \(k^2 + 4k - 5\) равны \(-5\) и 1 (по теореме Виета их сумма равна \(-4\), а произведение равно \(-5\)). Графиком квадратного трёхчлена \(k^2 + 4k - 5\) как функции переменной \(k\) служит парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс в точках \(-5\) и 1; ниже оси абсцисс эта парабола расположена только между этими точками, а в самих точках \(-5\) и 1 и вне промежутка между ними она лежит не ниже оси абсцисс. Значит, \(k \leqslant -5\) или \(k \geqslant 1\).
Найдём значения функции на концах отрезка: \[y(-3) = (-3)^2 + 2k \cdot (-3) - 4k + 5 = 14 - 10k;\] \[y(2) = 2^2 + 2k \cdot 2 - 4k + 5 = 9.\] Условие \(y(-3) \geqslant 0\) даёт \(14 - 10k \geqslant 0\), откуда \(k \leqslant 1{,}4\). Условие \(y(2) \geqslant 0\) выполняется при любом \(k\): график при любом \(k\) проходит через точку \((2;\ 9)\).
Абсцисса вершины параболы равна \(x_0 = -\frac{2k}{2 \cdot 1} = -k\), и условие \(-3 \leqslant -k \leqslant 2\) даёт \(-2 \leqslant k \leqslant 3\).
Осталось выбрать значения \(k\), удовлетворяющие всем условиям сразу. Промежуток \(k \leqslant -5\) не удовлетворяет условию \(k \geqslant -2\), поэтому остаётся \(k \geqslant 1\); вместе с условиями \(k \leqslant 1{,}4\) и \(k \leqslant 3\) это даёт \(1 \leqslant k \leqslant 1{,}4\).
Ответ: \(1 \leqslant k \leqslant 1{,}4\).
