Страница 128 номер 5.2.57, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти все значения числа \(a\), при которых построенные в одних осях координат графики функций \(y = ax^2 + 2x - 1\) и \(y = -2x + 3\) имеют ровно одну общую точку \(A\), и указать координаты этой точки.
Абсциссы общих точек — корни уравнения \(ax^2 + 2x - 1 = -2x + 3\), то есть \(ax^2 + 4x - 4 = 0\), и нужен ровно один корень. Квадратным это уравнение является только при \(a \ne 0\), поэтому рассмотрим два случая.
Если \(a = 0\), первая функция принимает вид \(y = 2x - 1\), её график — прямая, а уравнение становится линейным: \(4x - 4 = 0\), откуда \(x = 1\) — корень один, общая точка одна. Её ордината \(y = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), то есть это точка \(A(1;\ 1)\).
Если \(a \ne 0\), уравнение квадратное и имеет ровно один корень при нулевом дискриминанте: \(D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = 16 + 16a\), и условие \(D = 0\) даёт \(a = -1\).
При \(a = -1\): \(-x^2 + 4x - 4 = 0\), то есть \(x^2 - 4x + 4 = 0\), или \((x - 2)^2 = 0\), откуда \(x = 2\). Ордината общей точки \(y = -2 \cdot 2 + 3 = -1\), то есть это точка \(A(2;\ -1)\).
Ответ: при \(a = 0\) — точка \(A(1;\ 1)\); при \(a = -1\) — точка \(A(2;\ -1)\).
Найти все значения числа \(a\), при которых построенные в одних осях координат графики функций \(y = ax^2 + 2x - 1\) и \(y = -2x + 3\) имеют ровно одну общую точку \(A\), и указать координаты этой точки.
Абсциссы общих точек графиков — это корни уравнения \[ax^2 + 2x - 1 = -2x + 3,\] то есть уравнения \(ax^2 + 4x - 4 = 0\). Ровно одна общая точка будет тогда, когда это уравнение имеет ровно один корень. Квадратным это уравнение является только при \(a \ne 0\), поэтому рассмотрим два случая.
Если \(a = 0\), то первая функция принимает вид \(y = 2x - 1\), её график — прямая, а уравнение становится линейным: \(4x - 4 = 0\), откуда \(x = 1\). Корень один, значит, общая точка одна. Её ордината \(y = -2 \cdot 1 + 3 = 1\), то есть это точка \(A(1;\ 1)\).
Если \(a \ne 0\), то уравнение \(ax^2 + 4x - 4 = 0\) квадратное и имеет ровно один корень тогда, когда его дискриминант равен нулю. Дискриминант равен \(D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-4) = 16 + 16a\), и условие \(D = 0\) даёт \(16 + 16a = 0\), откуда \(a = -1\).
При \(a = -1\) уравнение принимает вид \(-x^2 + 4x - 4 = 0\), то есть \(x^2 - 4x + 4 = 0\), или \((x - 2)^2 = 0\), откуда \(x = 2\). Ордината общей точки \(y = -2 \cdot 2 + 3 = -1\), то есть это точка \(A(2;\ -1)\).
Ответ: при \(a = 0\) — точка \(A(1;\ 1)\); при \(a = -1\) — точка \(A(2;\ -1)\).
