Страница 127 номер 5.2.55, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Точка \((2; 5)\) принадлежит графику квадратичной функции \(y = k(x^2 - x + l)\) (\(k\), \(l\) — некоторые числа). Указать ещё одну точку графика этой функции, координаты которой не зависят от \(k\) и \(l\).
Функция квадратичная, поэтому \(k \ne 0\). Раскроем скобки: \(y = kx^2 - kx + kl\), и абсцисса вершины параболы \[x_0 = -\frac{-k}{2k} = \frac{1}{2}\] одна и та же при любых \(k\) и \(l\). Прямая \(x = \frac{1}{2}\) — ось симметрии параболы, поэтому точки графика с симметричными относительно неё абсциссами имеют равные ординаты. Числу 2 симметрично число \(2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = -1\).
При любых \(k\) и \(l\) верно \(y(-1) = k\left((-1)^2 - (-1) + l\right) = k(2 + l)\) и \(y(2) = k(2^2 - 2 + l) = k(2 + l)\), то есть \(y(-1) = y(2)\).
Точка \((2;\ 5)\) принадлежит графику, значит, \(y(2) = 5\), а тогда и \(y(-1) = 5\). Графику принадлежит точка \((-1;\ 5)\), и её координаты не зависят от \(k\) и \(l\).
Ответ: \((-1;\ 5)\).
Точка \((2; 5)\) принадлежит графику квадратичной функции \(y = k(x^2 - x + l)\) (\(k\), \(l\) — некоторые числа). Указать ещё одну точку графика этой функции, координаты которой не зависят от \(k\) и \(l\).
Функция \(y = k(x^2 - x + l)\) квадратичная, поэтому \(k \ne 0\). Раскроем скобки: \(y = kx^2 - kx + kl\). Абсцисса вершины параболы равна \[x_0 = -\frac{-k}{2k} = \frac{1}{2}.\] Она одна и та же при любых \(k\) и \(l\), а прямая \(x = \frac{1}{2}\) — ось симметрии параболы, поэтому точки графика, абсциссы которых симметричны относительно этой прямой, имеют равные ординаты. Числу 2 симметрично число \(2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = -1\).
Проверим, что ординаты точек с абсциссами 2 и \(-1\) равны при любых \(k\) и \(l\). Действительно, \(y(-1) = k\left((-1)^2 - (-1) + l\right) = k(2 + l)\) и \(y(2) = k(2^2 - 2 + l) = k(2 + l)\), то есть \(y(-1) = y(2)\).
Точка \((2;\ 5)\) принадлежит графику, значит, \(y(2) = 5\), а тогда и \(y(-1) = 5\). Графику принадлежит точка \((-1;\ 5)\), и её координаты не зависят от \(k\) и \(l\).
Ответ: \((-1;\ 5)\).
