Страница 127 номер 5.2.54, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
В пунктах 1)—4) под знаком модуля стоит только \(x\), и \(|-x| = |x|\), поэтому график симметричен относительно оси ординат: при \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), правая половина графика — часть параболы, левую получаем отражением правой относительно оси ординат, а угловая точка лежит на оси ординат.
В пунктах 5)—8) под знаком модуля стоит всё выражение: часть графика \(y = g(x)\), лежащая не ниже оси абсцисс, сохраняется, а лежащая ниже — отражается относительно оси абсцисс вверх, и точки пересечения с осью абсцисс становятся угловыми.
1) При \(x \geqslant 0\): \(y = -0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\), ветви вниз, вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = -2, \qquad y_0 = -0{,}5 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 2{,}5 = 4{,}5\] лежит левее оси ординат, поэтому при \(x \geqslant 0\) функция убывает. Нули: \(-0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5 = 0\), то есть \(x^2 + 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 1\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 2{,}5 & 0 & -3{,}5 & -8 \\ \hline \end{array}\] Эту часть графика отражаем относительно оси ординат.
2) При \(x \geqslant 0\): \(y = 0{,}5x^2 + x - 4\), ветви вверх, вершина \[x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 0{,}5} = -1, \qquad y_0 = 0{,}5 \cdot (-1)^2 + (-1) - 4 = -4{,}5\] лежит левее оси ординат, поэтому при \(x \geqslant 0\) функция возрастает. Нули: \(0{,}5x^2 + x - 4 = 0\), то есть \(x^2 + 2x - 8 = 0\), корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 2\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & -2{,}5 & 0 & 3{,}5 & 8 \\ \hline \end{array}\] Эту часть графика отражаем относительно оси ординат.
3) При \(x \geqslant 0\): \(y = 0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5\), ветви вверх, вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 0{,}5} = 2, \qquad y_0 = 0{,}5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 2{,}5 = -4{,}5.\] Нули: \(0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5 = 0\), то есть \(x^2 - 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 5\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -2{,}5 & -4 & -4{,}5 & -4 & -2{,}5 & 0 \\ \hline \end{array}\] Эту часть графика отражаем относительно оси ординат.
4) При \(x \geqslant 0\): \(y = -0{,}5x^2 + 2x + 6\), ветви вниз, вершина \[x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2, \qquad y_0 = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 6 = 8.\] Нули: \(-0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0\), то есть \(x^2 - 4x - 12 = 0\), корни \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -2\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 6\). \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 6 & 7{,}5 & 8 & 7{,}5 & 6 & 3{,}5 & 0 \\ \hline \end{array}\] Эту часть графика отражаем относительно оси ординат.
5) Парабола \(y = -x^2 + 6x - 5\), ветви вниз, вершина \[x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3, \qquad y_0 = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4.\] Нули: \(-x^2 + 6x - 5 = 0\), то есть \(x^2 - 6x + 5 = 0\), корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 5\). Между этими нулями парабола лежит выше оси абсцисс — эта дуга остаётся на месте; левее 1 и правее 5 она лежит ниже оси абсцисс — эти части отражаются вверх. Значения функции \(y = |-x^2 + 6x - 5|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
6) Парабола \(y = -x^2 - 2x + 3\), ветви вниз, вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1, \qquad y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = 4.\] Нули: \(-x^2 - 2x + 3 = 0\), то есть \(x^2 + 2x - 3 = 0\), корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\). Дуга между нулями остаётся на месте, а части левее \(-3\) и правее 1 отражаются вверх. Значения функции \(y = |-x^2 - 2x + 3|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
7) График \(y = x^2 - 4|x| - 5\) симметричен относительно оси ординат, а при \(x \geqslant 0\) совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x - 5\): ветви вверх, вершина \[x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9.\] Нули: \(x^2 - 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 5\). Значит, график функции \(y = x^2 - 4|x| - 5\) имеет самые низкие точки \((-2;\ -9)\) и \((2;\ -9)\), угловую точку \((0;\ -5)\) и пересекает ось абсцисс в точках \(-5\) и 5; ниже оси абсцисс он лежит при \(-5 < x < 5\) — эта часть отражается вверх. Значения функции \(y = \left|x^2 - 4|x| - 5\right|\) при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}\]
8) График \(y = x^2 - 2|x| - 3\) симметричен относительно оси ординат, а при \(x \geqslant 0\) совпадает с параболой \(y = x^2 - 2x - 3\): ветви вверх, вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1, \qquad y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4.\] Нули: \(x^2 - 2x - 3 = 0\), корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 3\). Значит, график функции \(y = x^2 - 2|x| - 3\) имеет самые низкие точки \((-1;\ -4)\) и \((1;\ -4)\), угловую точку \((0;\ -3)\) и пересекает ось абсцисс в точках \(-3\) и 3; ниже оси абсцисс он лежит при \(-3 < x < 3\) — эта часть отражается вверх. Значения функции \(y = \left|x^2 - 2|x| - 3\right|\) при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
Модуль числа равен самому числу, если это число неотрицательно, и противоположному числу, если оно отрицательно.
В пунктах 1)—4) под знаком модуля стоит только \(x\). Так как \(|-x| = |x|\), противоположным значениям аргумента отвечают равные значения функции, поэтому график симметричен относительно оси ординат. При \(x \geqslant 0\) имеем \(|x| = x\), и формула превращается в квадратичную: правая половина графика — часть параболы. Левую половину получаем симметричным отражением правой относительно оси ординат; угловая точка лежит на оси ординат.
В пунктах 5)—8) под знаком модуля стоит всё выражение. Функция \(y = |g(x)|\) равна \(g(x)\) там, где \(g(x) \geqslant 0\), и равна \(-g(x)\) там, где \(g(x) < 0\). Значит, часть графика функции \(y = g(x)\), лежащая не ниже оси абсцисс, сохраняется, а часть, лежащая ниже оси абсцисс, отражается симметрично относительно оси абсцисс вверх; точки, в которых график пересекал ось абсцисс, становятся угловыми.
1) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5\). Ветви этой параболы направлены вниз, её вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-0{,}5)} = -2, \qquad y_0 = -0{,}5 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 2{,}5 = 4{,}5\] лежит левее оси ординат, поэтому при \(x \geqslant 0\) функция убывает. Нули: \(-0{,}5x^2 - 2x + 2{,}5 = 0\), то есть \(x^2 + 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -5\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 1\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 2{,}5 & 0 & -3{,}5 & -8 \\ \hline \end{array}\] Построим эту часть графика и отразим её относительно оси ординат.
2) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = 0{,}5x^2 + x - 4\). Ветви направлены вверх, вершина \[x_0 = -\frac{1}{2 \cdot 0{,}5} = -1, \qquad y_0 = 0{,}5 \cdot (-1)^2 + (-1) - 4 = -4{,}5\] лежит левее оси ординат, поэтому при \(x \geqslant 0\) функция возрастает. Нули: \(0{,}5x^2 + x - 4 = 0\), то есть \(x^2 + 2x - 8 = 0\), корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 2\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -4 & -2{,}5 & 0 & 3{,}5 & 8 \\ \hline \end{array}\] Построим эту часть графика и отразим её относительно оси ординат.
3) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = 0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5\). Ветви направлены вверх, вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 0{,}5} = 2, \qquad y_0 = 0{,}5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 2{,}5 = -4{,}5.\] Нули: \(0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5 = 0\), то есть \(x^2 - 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 5\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline y & -2{,}5 & -4 & -4{,}5 & -4 & -2{,}5 & 0 \\ \hline \end{array}\] Построим эту часть графика и отразим её относительно оси ординат.
4) При \(x \geqslant 0\) получаем \(y = -0{,}5x^2 + 2x + 6\). Ветви направлены вниз, вершина \[x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-0{,}5)} = 2, \qquad y_0 = -0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 6 = 8.\] Нули: \(-0{,}5x^2 + 2x + 6 = 0\), то есть \(x^2 - 4x - 12 = 0\), корни \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -2\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 6\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 6 & 7{,}5 & 8 & 7{,}5 & 6 & 3{,}5 & 0 \\ \hline \end{array}\] Построим эту часть графика и отразим её относительно оси ординат.
5) Ветви параболы \(y = -x^2 + 6x - 5\) направлены вниз, её вершина \[x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3, \qquad y_0 = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = 4.\] Нули: \(-x^2 + 6x - 5 = 0\), то есть \(x^2 - 6x + 5 = 0\), корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 5\). Между этими нулями парабола лежит выше оси абсцисс — эта дуга остаётся на месте; левее 1 и правее 5 парабола лежит ниже оси абсцисс — эти части отражаются вверх. Значения функции \(y = |-x^2 + 6x - 5|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
6) Ветви параболы \(y = -x^2 - 2x + 3\) направлены вниз, её вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1, \qquad y_0 = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) + 3 = 4.\] Нули: \(-x^2 - 2x + 3 = 0\), то есть \(x^2 + 2x - 3 = 0\), корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 1\). Дуга между нулями остаётся на месте, а части левее \(-3\) и правее 1 отражаются вверх. Значения функции \(y = |-x^2 - 2x + 3|\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 5 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
7) Сначала построим график функции \(y = x^2 - 4|x| - 5\). Он симметричен относительно оси ординат, а при \(x \geqslant 0\) совпадает с параболой \(y = x^2 - 4x - 5\), ветви которой направлены вверх, а вершина \[x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \qquad y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9.\] Нули: \(x^2 - 4x - 5 = 0\), корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 5\). Значит, график функции \(y = x^2 - 4|x| - 5\) имеет самые низкие точки \((-2;\ -9)\) и \((2;\ -9)\), угловую точку \((0;\ -5)\) и пересекает ось абсцисс в точках \(-5\) и 5. Ниже оси абсцисс он лежит при \(-5 < x < 5\) — эта часть отражается вверх. Значения функции \(y = \left|x^2 - 4|x| - 5\right|\) при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}\]
8) Сначала построим график функции \(y = x^2 - 2|x| - 3\). Он симметричен относительно оси ординат, а при \(x \geqslant 0\) совпадает с параболой \(y = x^2 - 2x - 3\), ветви которой направлены вверх, а вершина \[x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1, \qquad y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4.\] Нули: \(x^2 - 2x - 3 = 0\), корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -1\); при \(x \geqslant 0\) подходит \(x = 3\). Значит, график функции \(y = x^2 - 2|x| - 3\) имеет самые низкие точки \((-1;\ -4)\) и \((1;\ -4)\), угловую точку \((0;\ -3)\) и пересекает ось абсцисс в точках \(-3\) и 3. Ниже оси абсцисс он лежит при \(-3 < x < 3\) — эта часть отражается вверх. Значения функции \(y = \left|x^2 - 2|x| - 3\right|\) при \(x \geqslant 0\): \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 3 & 4 & 3 & 0 & 5 \\ \hline \end{array}\]
