Страница 127 номер 5.2.53, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) задана графиком, изображённым на рисунке 25. Задать эту функцию формулой.
Если вершина параболы — точка \((m;\ n)\), то \(y = a(x - m)^2 + n\); коэффициент \(a\) находим подстановкой координат ещё одной точки графика.
1) Вершина \((-1;\ -4)\), поэтому \(y = a(x + 1)^2 - 4\). График проходит через точку \((0;\ -3)\): \(-3 = a(0 + 1)^2 - 4\), откуда \(a = 1\); ветви вверх, и это согласуется с тем, что \(a > 0\).
\[y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3.\]
2) Вершина \((3;\ 1)\), поэтому \(y = a(x - 3)^2 + 1\). График проходит через точку \((2;\ 0)\): \(0 = a(2 - 3)^2 + 1\), откуда \(a = -1\); ветви вниз, и это согласуется с тем, что \(a < 0\).
\[y = -(x - 3)^2 + 1 = -x^2 + 6x - 9 + 1 = -x^2 + 6x - 8.\]
3) Вершина \((1;\ 2)\), поэтому \(y = a(x - 1)^2 + 2\). График проходит через начало координат \((0;\ 0)\): \(0 = a(0 - 1)^2 + 2\), откуда \(a = -2\).
\[y = -2(x - 1)^2 + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 2 = -2x^2 + 4x.\]
4) Вершина \((2;\ -2)\), поэтому \(y = a(x - 2)^2 - 2\). График проходит через точку \((1;\ 0)\): \(0 = a(1 - 2)^2 - 2\), откуда \(a = 2\).
\[y = 2(x - 2)^2 - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6.\]
Ответ: 1) \(y = x^2 + 2x - 3\); 2) \(y = -x^2 + 6x - 8\); 3) \(y = -2x^2 + 4x\); 4) \(y = 2x^2 - 8x + 6\).
Квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) задана графиком, изображённым на рисунке 25. Задать эту функцию формулой.
Если вершина параболы — точка \((m;\ n)\), то квадратичную функцию можно задать формулой \(y = a(x - m)^2 + n\). Коэффициент \(a\) находится подстановкой координат ещё одной точки графика, после чего скобки раскрываются.
1) Вершина параболы — точка \((-1;\ -4)\), поэтому \(y = a(x + 1)^2 - 4\). График проходит через точку \((0;\ -3)\), значит, \(-3 = a(0 + 1)^2 - 4\), откуда \(a = 1\). Ветви параболы направлены вверх, и это согласуется с тем, что \(a > 0\). Раскроем скобки: \[y = (x + 1)^2 - 4 = x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 + 2x - 3.\]
2) Вершина параболы — точка \((3;\ 1)\), поэтому \(y = a(x - 3)^2 + 1\). График проходит через точку \((2;\ 0)\), значит, \(0 = a(2 - 3)^2 + 1\), откуда \(a = -1\). Ветви направлены вниз, и это согласуется с тем, что \(a < 0\). Раскроем скобки: \[y = -(x - 3)^2 + 1 = -x^2 + 6x - 9 + 1 = -x^2 + 6x - 8.\]
3) Вершина параболы — точка \((1;\ 2)\), поэтому \(y = a(x - 1)^2 + 2\). График проходит через начало координат \((0;\ 0)\), значит, \(0 = a(0 - 1)^2 + 2\), откуда \(a = -2\). Раскроем скобки: \[y = -2(x - 1)^2 + 2 = -2x^2 + 4x - 2 + 2 = -2x^2 + 4x.\]
4) Вершина параболы — точка \((2;\ -2)\), поэтому \(y = a(x - 2)^2 - 2\). График проходит через точку \((1;\ 0)\), значит, \(0 = a(1 - 2)^2 - 2\), откуда \(a = 2\). Раскроем скобки: \[y = 2(x - 2)^2 - 2 = 2x^2 - 8x + 8 - 2 = 2x^2 - 8x + 6.\]
Ответ: 1) \(y = x^2 + 2x - 3\); 2) \(y = -x^2 + 6x - 8\); 3) \(y = -2x^2 + 4x\); 4) \(y = 2x^2 - 8x + 6\).
