Страница 127 номер 5.2.52, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) задана графиком (рис. 24). Определить знаки коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Знак \(a\) виден по направлению ветвей: при \(a > 0\) ветви вверх, при \(a < 0\) — вниз. Свободный член \(c\) равен ординате точки пересечения графика с осью ординат: выше начала координат — \(c > 0\), ниже — \(c < 0\). Из \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) следует \(b = -2ax_0\), поэтому при вершине левее оси ординат (\(x_0 < 0\)) знаки \(a\) и \(b\) одинаковы, а при вершине правее (\(x_0 > 0\)) — противоположны.
1) Ветви вниз, поэтому \(a < 0\); вершина левее оси ординат, значит, \(b\) того же знака, что и \(a\), то есть \(b < 0\); ось ординат график пересекает ниже начала координат, поэтому \(c < 0\).
2) Ветви вверх, поэтому \(a > 0\); вершина левее оси ординат, значит, \(b\) того же знака, что и \(a\), то есть \(b > 0\); ось ординат график пересекает выше начала координат, поэтому \(c > 0\).
3) Ветви вверх, поэтому \(a > 0\); вершина правее оси ординат, значит, знак \(b\) противоположен знаку \(a\), то есть \(b < 0\); ось ординат график пересекает ниже начала координат, поэтому \(c < 0\).
4) Ветви вниз, поэтому \(a < 0\); вершина правее оси ординат, значит, знак \(b\) противоположен знаку \(a\), то есть \(b > 0\); ось ординат график пересекает выше начала координат, поэтому \(c > 0\).
Ответ: 1) \(a < 0\), \(b < 0\), \(c < 0\); 2) \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\); 3) \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\); 4) \(a < 0\), \(b > 0\), \(c > 0\).
Квадратичная функция \(y = ax^2 + bx + c\) задана графиком (рис. 24). Определить знаки коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Знак старшего коэффициента \(a\) виден по направлению ветвей параболы: при \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз.
Свободный член \(c\) равен значению функции при \(x = 0\), то есть ординате точки пересечения графика с осью ординат: если график пересекает ось ординат выше начала координат, то \(c > 0\), если ниже — \(c < 0\).
Абсцисса вершины параболы равна \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), откуда \(b = -2ax_0\). Значит, если вершина лежит левее оси ординат (\(x_0 < 0\)), то числа \(a\) и \(b\) имеют одинаковые знаки, а если правее (\(x_0 > 0\)), то знаки \(a\) и \(b\) противоположны.
1) Ветви параболы направлены вниз, поэтому \(a < 0\). Вершина лежит левее оси ординат, значит, \(b\) имеет тот же знак, что и \(a\), то есть \(b < 0\). Ось ординат график пересекает ниже начала координат, поэтому \(c < 0\).
2) Ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\). Вершина лежит левее оси ординат, значит, \(b\) имеет тот же знак, что и \(a\), то есть \(b > 0\). Ось ординат график пересекает выше начала координат, поэтому \(c > 0\).
3) Ветви направлены вверх, поэтому \(a > 0\). Вершина лежит правее оси ординат, значит, знак \(b\) противоположен знаку \(a\), то есть \(b < 0\). Ось ординат график пересекает ниже начала координат, поэтому \(c < 0\).
4) Ветви направлены вниз, поэтому \(a < 0\). Вершина лежит правее оси ординат, значит, знак \(b\) противоположен знаку \(a\), то есть \(b > 0\). Ось ординат график пересекает выше начала координат, поэтому \(c > 0\).
Ответ: 1) \(a < 0\), \(b < 0\), \(c < 0\); 2) \(a > 0\), \(b > 0\), \(c > 0\); 3) \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0\); 4) \(a < 0\), \(b > 0\), \(c > 0\).
