Страница 126 номер 5.2.51, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
График функции \(y = f(x)\) изображён на рисунке 23. Для каждого значения \(m\) определить число корней уравнения \(f(x) = m\).
Число корней уравнения \(f(x) = m\) равно числу общих точек графика и прямой \(y = m\), параллельной оси абсцисс.
График состоит из четырёх участков: при \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) функция постоянна и равна \(-1\); при \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) убывает от \(-1\) до \(-2\); при \(-1 \leqslant x \leqslant 3\) возрастает от \(-2\) до 4; при \(3 \leqslant x \leqslant 6\) убывает от 4 до \(-5\). Наибольшее значение 4 достигается при \(x = 3\), наименьшее \(-5\) — при \(x = 6\).
При \(m > 4\) и при \(m < -5\) таких значений функция не принимает — корней нет.
При \(m = 4\) прямая проходит только через вершину \((3;\ 4)\) — один корень.
При \(-1 < m < 4\) прямая пересекает участок возрастания и участок убывания, идущий от 4 до \(-5\), — по одной точке на каждом; на горизонтальном участке значение функции равно \(-1\), а на участке убывания от \(-1\) до \(-2\) значения не больше \(-1\), поэтому там общих точек нет. Два корня.
При \(m = -1\) прямая \(y = -1\) содержит весь горизонтальный участок графика, то есть каждое число из отрезка \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) является корнем, — бесконечно много корней.
При \(-2 < m < -1\) прямая пересекает три участка: убывания от \(-1\) до \(-2\), возрастания от \(-2\) до 4 и убывания от 4 до \(-5\), — три корня.
При \(m = -2\) прямая проходит через точку \((-1;\ -2)\), общую для второго и третьего участков, и пересекает последний участок ещё в одной точке — два корня.
При \(-5 \leqslant m < -2\) такие значения принимаются только на последнем участке — один корень.
Ответ: при \(m < -5\) и при \(m > 4\) корней нет; при \(-5 \leqslant m < -2\) и при \(m = 4\) — один корень; при \(m = -2\) и при \(-1 < m < 4\) — два корня; при \(-2 < m < -1\) — три корня; при \(m = -1\) — бесконечно много корней.
График функции \(y = f(x)\) изображён на рисунке 23. Для каждого значения \(m\) определить число корней уравнения \(f(x) = m\).
Корни уравнения \(f(x) = m\) — это абсциссы точек, в которых график функции \(y = f(x)\) пересекается с прямой \(y = m\), параллельной оси абсцисс. Поэтому число корней уравнения равно числу общих точек графика и этой прямой.
График состоит из четырёх участков: при \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) функция постоянна и равна \(-1\); при \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) убывает от \(-1\) до \(-2\); при \(-1 \leqslant x \leqslant 3\) возрастает от \(-2\) до 4; при \(3 \leqslant x \leqslant 6\) убывает от 4 до \(-5\). Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при \(x = 3\), наименьшее равно \(-5\) и достигается при \(x = 6\).
При \(m > 4\) и при \(m < -5\) общих точек нет: таких значений функция не принимает. Корней нет.
При \(m = 4\) прямая проходит только через точку \((3;\ 4)\) — вершину графика. Уравнение имеет один корень.
При \(-1 < m < 4\) прямая пересекает участок возрастания и участок убывания, идущий от 4 до \(-5\), — по одной точке на каждом. На горизонтальном участке значение функции равно \(-1\), а на участке убывания от \(-1\) до \(-2\) значения не больше \(-1\), поэтому там общих точек нет. Уравнение имеет два корня.
При \(m = -1\) прямая \(y = -1\) содержит весь горизонтальный участок графика, то есть каждое число из отрезка \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) является корнем. Уравнение имеет бесконечно много корней.
При \(-2 < m < -1\) прямая пересекает три участка: убывания от \(-1\) до \(-2\), возрастания от \(-2\) до 4 и убывания от 4 до \(-5\). Уравнение имеет три корня.
При \(m = -2\) прямая проходит через точку \((-1;\ -2)\), общую для второго и третьего участков, и пересекает последний участок ещё в одной точке. Уравнение имеет два корня.
При \(-5 \leqslant m < -2\) такие значения принимаются только на последнем участке. Уравнение имеет один корень.
Ответ: при \(m < -5\) и при \(m > 4\) корней нет; при \(-5 \leqslant m < -2\) и при \(m = 4\) — один корень; при \(m = -2\) и при \(-1 < m < 4\) — два корня; при \(-2 < m < -1\) — три корня; при \(m = -1\) — бесконечно много корней.
