Страница 126 номер 5.2.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
График функции \(y = f(x)\) изображён на рисунке 22. Для каждого значения \(a\) определить число корней уравнения \(f(x) = a\).
Число корней уравнения \(f(x) = a\) равно числу общих точек ломаной и прямой \(y = a\), параллельной оси абсцисс.
Ломаная состоит из четырёх звеньев: при \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) функция возрастает от \(-4\) до 3; при \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) убывает от 3 до \(-2\); при \(0 \leqslant x \leqslant 2\) возрастает от \(-2\) до 3; при \(2 \leqslant x \leqslant 4\) убывает от 3 до \(-4\). Наибольшее значение 3 достигается при \(x = -2\) и при \(x = 2\), наименьшее \(-4\) — при \(x = -4\) и при \(x = 4\). На каждом звене функция монотонна, поэтому прямая \(y = a\) имеет с ним не больше одной общей точки, а имеет ровно одну тогда, когда \(a\) заключено между значениями функции на концах этого звена.
При \(a > 3\) и при \(a < -4\) таких значений функция не принимает, общих точек нет — корней нет.
При \(a = 3\) прямая проходит через две вершины ломаной — \((-2;\ 3)\) и \((2;\ 3)\), других общих точек у неё с ломаной нет — два корня.
При \(-2 < a < 3\) каждое из четырёх звеньев даёт по одной общей точке — четыре корня.
При \(a = -2\) прямая проходит через вершину \((0;\ -2)\), общую для второго и третьего звеньев, и пересекает первое и четвёртое звенья ещё в двух точках: общих точек три — три корня.
При \(-4 \leqslant a < -2\) на втором и третьем звеньях таких значений нет (там функция не опускается ниже \(-2\)), а первое и четвёртое звенья дают по одной общей точке — два корня.
Ответ: при \(a < -4\) и при \(a > 3\) корней нет; при \(-4 \leqslant a < -2\) и при \(a = 3\) — два корня; при \(a = -2\) — три корня; при \(-2 < a < 3\) — четыре корня.
График функции \(y = f(x)\) изображён на рисунке 22. Для каждого значения \(a\) определить число корней уравнения \(f(x) = a\).
Корни уравнения \(f(x) = a\) — это абсциссы точек, в которых график функции \(y = f(x)\) пересекается с прямой \(y = a\), параллельной оси абсцисс. Поэтому число корней уравнения равно числу общих точек ломаной и этой прямой.
Ломаная состоит из четырёх звеньев: при \(-4 \leqslant x \leqslant -2\) функция возрастает от \(-4\) до 3; при \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) убывает от 3 до \(-2\); при \(0 \leqslant x \leqslant 2\) возрастает от \(-2\) до 3; при \(2 \leqslant x \leqslant 4\) убывает от 3 до \(-4\). Наибольшее значение функции равно 3 и достигается при \(x = -2\) и при \(x = 2\), наименьшее равно \(-4\) и достигается при \(x = -4\) и при \(x = 4\).
На каждом звене функция монотонна, поэтому прямая \(y = a\) имеет с ним не больше одной общей точки, а имеет ровно одну тогда, когда число \(a\) заключено между значениями функции на концах этого звена.
При \(a > 3\) и при \(a < -4\) общих точек нет: значений, больших 3 и меньших \(-4\), функция не принимает. Корней нет.
При \(a = 3\) прямая проходит через две вершины ломаной — \((-2;\ 3)\) и \((2;\ 3)\), других общих точек у неё с ломаной нет. Уравнение имеет два корня.
При \(-2 < a < 3\) число \(a\) заключено между значениями на концах каждого из четырёх звеньев, поэтому каждое звено даёт по одной общей точке. Уравнение имеет четыре корня.
При \(a = -2\) прямая проходит через вершину \((0;\ -2)\), общую для второго и третьего звеньев, и пересекает первое и четвёртое звенья ещё в двух точках. Общих точек три, уравнение имеет три корня.
При \(-4 \leqslant a < -2\) на втором и третьем звеньях таких значений нет — там функция не опускается ниже \(-2\), а первое и четвёртое звенья дают по одной общей точке. Уравнение имеет два корня.
Ответ: при \(a < -4\) и при \(a > 3\) корней нет; при \(-4 \leqslant a < -2\) и при \(a = 3\) — два корня; при \(a = -2\) — три корня; при \(-2 < a < 3\) — четыре корня.
