Страница 126 номер 5.2.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
С помощью рисунка 21 определить, при каких значениях \(b\) уравнение \(f(x) = b\) имеет: 1) ровно один корень; 2) ровно два корня; 3) ровно три корня.
Сторона клетки равна единице. График начерчен при \(-7 \leqslant x \leqslant 5\): поднимается от точки \((-7;\ 2)\) до вершины \((-6;\ 3)\), опускается до угловой точки \((-4;\ -1)\), поднимается по отрезку до угловой точки \((0;\ 2)\), опускается до вершины \((2;\ -2)\) и снова поднимается до конца \((5;\ 1)\).
Корни уравнения \(f(x) = b\) — это абсциссы общих точек графика и прямой \(y = b\).
Вершины и угловые точки разбивают график на пять звеньев; на каждом прямая \(y = b\) даёт не больше одной точки, и даёт её тогда, когда \(b\) лежит между значениями на концах звена: первое звено — от \((-7;\ 2)\) до \((-6;\ 3)\), значения от \(2\) до \(3\); второе — от \((-6;\ 3)\) до \((-4;\ -1)\), значения от \(-1\) до \(3\); третье — от \((-4;\ -1)\) до \((0;\ 2)\), значения от \(-1\) до \(2\); четвёртое — от \((0;\ 2)\) до \((2;\ -2)\), значения от \(-2\) до \(2\); пятое — от \((2;\ -2)\) до \((5;\ 1)\), значения от \(-2\) до \(1\).
1) При \(b = 3\) прямая проходит через вершину \((-6;\ 3)\), и выше неё точек графика нет; при \(b = -2\) — через вершину \((2;\ -2)\), ниже которой точек графика тоже нет. Ровно один корень при \(b = -2\) и при \(b = 3\).
2) При \(2 < b < 3\) прямая пересекает первое и второе звенья, а на остальных все значения не больше \(2\) — две точки. При \(-2 < b < -1\) прямая пересекает четвёртое и пятое звенья, а на остальных все значения не меньше \(-1\) — снова две точки. Ровно два корня при \(-2 < b < -1\) и при \(2 < b < 3\).
3) При \(b = -1\) прямая проходит через угловую точку \((-4;\ -1)\), общую для второго и третьего звеньев, и пересекает четвёртое и пятое звенья — всего три точки. При \(1 < b < 2\) прямая пересекает второе, третье и четвёртое звенья, первого не достигает (там значения не меньше \(2\)) и пятого не достигает (там значения не больше \(1\)) — тоже три точки. При \(b = 2\) прямая проходит через левый конец графика \((-7;\ 2)\), через точку второго звена и через угловую точку \((0;\ 2)\), общую для третьего и четвёртого звеньев, — снова три точки. Ровно три корня при \(b = -1\) и при \(1 < b \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(b = -2\) и \(b = 3\); 2) \(-2 < b < -1\) и \(2 < b < 3\); 3) \(b = -1\) и \(1 < b \leqslant 2\).
С помощью рисунка 21 определить, при каких значениях \(b\) уравнение \(f(x) = b\) имеет: 1) ровно один корень; 2) ровно два корня; 3) ровно три корня.
Сторона клетки на рисунке равна единице. График начерчен при \(-7 \leqslant x \leqslant 5\): он поднимается от точки \((-7;\ 2)\) до вершины \((-6;\ 3)\), опускается до угловой точки \((-4;\ -1)\), поднимается по отрезку до угловой точки \((0;\ 2)\), опускается до вершины \((2;\ -2)\) и снова поднимается до конца \((5;\ 1)\).
Корни уравнения \(f(x) = b\) — это абсциссы точек пересечения графика \(y = f(x)\) с горизонтальной прямой \(y = b\). Значит, надо сосчитать общие точки такой прямой с графиком при разных \(b\).
График разбивается вершинами и угловыми точками на пять звеньев; на каждом звене прямая \(y = b\) даёт не больше одной точки, и даёт её тогда, когда \(b\) лежит между значениями на концах звена:
первое звено — от \((-7;\ 2)\) до \((-6;\ 3)\), значения от \(2\) до \(3\);
второе — от \((-6;\ 3)\) до \((-4;\ -1)\), значения от \(-1\) до \(3\);
третье — от \((-4;\ -1)\) до \((0;\ 2)\), значения от \(-1\) до \(2\);
четвёртое — от \((0;\ 2)\) до \((2;\ -2)\), значения от \(-2\) до \(2\);
пятое — от \((2;\ -2)\) до \((5;\ 1)\), значения от \(-2\) до \(1\).
1) При \(b = 3\) прямая проходит через вершину \((-6;\ 3)\), и выше неё точек графика нет — общая точка одна. При \(b = -2\) прямая проходит через вершину \((2;\ -2)\), ниже которой точек графика тоже нет, — общая точка одна. Уравнение имеет ровно один корень при \(b = -2\) и при \(b = 3\).
2) При \(2 < b < 3\) прямая пересекает первое и второе звенья, а на остальных все значения не больше \(2\) — получаются две точки. При \(-2 < b < -1\) прямая пересекает четвёртое и пятое звенья, а на остальных все значения не меньше \(-1\) — снова две точки. Уравнение имеет ровно два корня при \(-2 < b < -1\) и при \(2 < b < 3\).
3) При \(b = -1\) прямая проходит через угловую точку \((-4;\ -1)\), общую для второго и третьего звеньев, и пересекает четвёртое и пятое звенья — всего три точки. При \(1 < b < 2\) прямая пересекает второе, третье и четвёртое звенья, первого не достигает (там значения не меньше \(2\)) и пятого не достигает (там значения не больше \(1\)) — тоже три точки. При \(b = 2\) прямая проходит через левый конец графика \((-7;\ 2)\), через точку второго звена и через угловую точку \((0;\ 2)\), общую для третьего и четвёртого звеньев, — снова три точки. Уравнение имеет ровно три корня при \(b = -1\) и при \(1 < b \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(b = -2\) и \(b = 3\); 2) \(-2 < b < -1\) и \(2 < b < 3\); 3) \(b = -1\) и \(1 < b \leqslant 2\).
